Моделирование в металлургии

Динамический  хаос в плотную приблизил научное  сообщество к математическому объяснению турбулентного поведения. Часто динамический хаос оказывается локализованным в некотором ограниченном фазовом объёме, и все окрестные траектории движения притягиваются к нему. Притягивающее множество с хаотической динамической получило название странный аттрактор. 
 

Сценарий  развития динамического  хаоса по Фегенбауму и Шарковскому.

Занимаясь исследованием  нелинейных функциональных систем в 70-х  годах 20 века Фегенбаум обнаружил, что  его рождение представляет усложнённого вида движения через удвоенный период. То есть после рождения обычного цикла Q₁ рождается цикл Q₂, затем Q₄, Q₈, Q₁₆ и так далее. Эти изменения появляются при однонаправленном изменении какого-то ключевого параметра системы, который обычно называют бифуркационным параметром. Бифуркация термин введён Анри  Пуанкорэ, который характеризует качественное изменение картины движения системы Фегенбаум попытался объяснить рождение турбулентности через сценарий удвоения периода. При этом вскрыв две новые фундаментальные константы, которое в настоящее время столь же знаменито, что и иррациональные числа π и е. 
 

Киевский математик  Шарковский математики доказал теорему  о том, в какой последовательности в системе могут существовать циклы. Порядок Шарковского, исходя из его теоремы выписываются следующим  образом:

3◄5◄7◄9◄ ... ∞

…2•3◄2•5◄2•5◄2•7◄2•9◄… ∞

◄ ◄ ◄ ◄… ∞

◄ ◄ ◄ ◄… ∞

……………..

n

 
…………….. 
◄ … 32◄16◄8◄4◄2◄1

«◄» - означает приоритет циклов, а целые числа это порядки циклов

   Таким  образом если в системе найден  цикл Q₈, значит в ней обязательно присутствуют циклы Q₄, Q₂, Q₁, а остальных может и не быть. Если в системе обнаружен цикл Q₃ значит в ней обязательно присутствуют все циклы стоящие от 3 справа вплоть до 1. Исходя из этой упорядоченности следует, что цикл три самое маленькое число, а единица самое большое число. 

Методы  оптимизации. Постановка задач.

Оптимизация –  есть нахождение наилучшего в некотором  смысле способа решения проблемы. Чтобы определить понятие «наилучший»  необходимо задать некоторый показатель качества Q(Х), где Х – вектор переменных Х{х_i}; i=1,n вариациями которых удаётся достигнуть наилучшего значения показателя Q. Этот показатель обычно называют критерием оптимизации, иногда используется термином целевая функция. В ряде случаев, особенно в экономике, когда требуется достижение минимального значения критерия используют термин функция потерь.

Например: 1) Если мы стремимся снизить себестоимость  продукции, то необходимо снизить все потери производства.

2) Если мы  хотим максимизировать выход  годного металла в конверторной  плавке, необходимо минимизировать  потери металла со шлаком, выбросами,  а так же угаром железа.

Очевидно, что  вариации переменных вектора Х технологически допустимы лишь в определённых пределах. Область χ в пределах которых возможны вариации переменных Х называют областью допустимых значений, то есть Х χ . Тогда в самом общем виде задача оптимизации может быть выписана в следующем виде:

Если критерий оптимизации выписывается в виде явного аналитического выражения, то решение  оптимизационных задач сводится к разделу высшей математики называемой вариационным исчислением. В общем виде такая задача решается, как система после взятия частных производных по Q от (х_i) и последующем решением системы.

 

Ограничение в  этой задаче на область  изменения  переменных Х учитывается с помощью  специальных математических приёмов. Например с применением метода неопределённых множителей Лагранжа или методом припасовывания, которые несколько корректируют аналитическую форму критерия не давая возможности выходить аналитическому решению за пределы области допустимых значений.

Вместе с тем  на практике даже аналитически выписанные критерий часто может не иметь отдельных производных от (х_i). Либо критерий задаётся в неявной форме которая не имеет вообще аналитического выражения. Пример: необходимо найти наилучшее значение положительной фурмы и минимального расхода Q₂ при продувке в кислородном конверторе, которое минимизирует выбросы металла и шлака, аналитические связи количества выбросов с этими переменными отсутствует.

В этих ситуациях  решение задач оптимизации осуществляют поисковыми методами, специальным образом  варьируя переменные (х_i), экспериментальным путём фиксируя значения показателя качества. Поисковые процедуры при наличии ограничений на вариациях переменных (Х) из-за некорректного перевода с английского языка стали называться  методами математического программирования.

В общем виде практически никогда не бывает критерий оптимизации скалярным. Требований к решаемой задачи всегда несколько. Например: мы хотим максимизировать  производительность при минимальной  себестоимости при минимуме возникновения  аварийных ситуаций. Практически любая задача на оптимизацию в принципе требует множество критериев. Задача переходит в разряд векторной оптимизации.

Q(X)={q_j}; j=1,m.

Полного решения  эта задача до сих пор не имеет. Поэтому на практике стараются выбрать  один наиболее важный показатель качества в данной ситуации сведя задачу к скалярной оптимизации. Нет принципиального различия в решении задач на максимум и минимум, ибо сменив знак критерия на противоположный.  Задача на максимум превращается в задачу на минимум и наоборот. При этом оптимизация значения Х^* остаётся неизменным.

Классификация методов оптимизации.

Классификацию методов оптимизации осуществляют по виду и форме критерия Q(Х) по размерности вектора Х по типу и характеру области допустимых значений. Если Х – скаляр, говорят о задаче одномерной оптимизации, если их два, то двумерная оптимизация, или при производном n>1, о многомерной оптимизации.

С увеличением  размерности вектора Х сложность  поиска оптимального решения возрастает пропорционально степени (n). Это усложнение задачи американский математик  Роберт Беллман назвал «проклятием разности». По форме  и виду критерия  различают задачи: а) квадратной оптимизации, когда критерий квадратный, а ограничение  линейное; б) линейной оптимизации, когда критерий линейная функция и ограничение линейно; в) выпуклой оптимизации, когда критерий представляет собой выпуклую функцию.

Критерий называется выпуклым, если прямая соединяет 2 любые  точки, его поверхности больше не пересекают эту поверхность.

выпуклый                                               вогнутый 

 

В принципе  критерий оказывается не выпуклым, если на его  поверхности имеются точки перегиба. Понятие выпуклости принципиально  при выборе метода поисковой оптимизации. На выпуклых критериях экстремум найти проще, с применением специальных градиентных процедур. То есть упрощенно говоря, процедур скоростного поиска использующих оценку первых производных критерия.

Форма области  допустимых значений  так же играет важную роль в сложности решения оптимизационной задачи. Если область допустимых задач выпукла, то найти решение проще. Если область допустимых значений оврага подобно, то поиск оптимального решения усложняется. Если область допустимых значений разрывна, то есть состоит из нескольких подобластей, то оптимальное значение надо искать на каждой из подобластей с последующем выбором наилучшего решения.

По виду критерия оптимизации различают: одно экстремальные  и много экстремальные  задачи. В одно экстремальной задаче заранее  постулируется наличие в области допустимых значений только одного экстремума. В много экстремальных задачах экстремумов на поверхности  критерия может быть несколько.

                       Q 
 

 

      x

Наилучший из экстремумов  называют  глобальным, остальные локальными экстремумами. Для решения много экстремумной задачи, необходимо найти все экстремумы и выбрать из них наилучшее, то есть задача поиска существенно усложняется. На  практике всегда  целесообразно локализовать область неопределённости таким образом, что бы внутри был только один экстремум.

Задача  линейной оптимизации (линейного  программирования).

Эта задача в  общем виде формулируется следующим  образом:

Q=С^т=> max

AX≤в; Х≥0.

Здесь С^т – вектор строка (1xn);

         Х – вектор столбец (nx1);

         А – матрица (mxn);

в – вектор столбец (mх1.).

 

      Методы одномерного поиска.

Наиболее простым  методом одномерного поиска является метод дихотомии ( метод деления  отрезка пополам). Суть этого метода заключается в том, что интервал неопределённости делится на четыре равных отрезка в середине трёх проявляется эксперимент на краях интервала неопределённости  сокращается на 50%. Далее аналогичным образом проводится два эксперимента, так как значение критерия в середине интервала уже известно. Вновь выбраковывается половина оставшегося интервала неопределённости, на следующих шагах процесс продолжается аналогичным образом. После первого шага интервал сокращается вдвое, после второго шага на 75%, после третьего шага на 87,5% и так далее. Более эффективный метод, называем метод золотого сечения.

Золотое сечение  – такое деление отрезка на две неравные части при котором  отношение целого к большему равно  отношению большего к меньшему.

 Из него  легко получить квадратное уравнение:  z²+z – 1=0. Корни этого уравнения иррациональные числа z₁=0.618…;  z₂=0.618…

z₁ – называют золотое сечение, z₂ – называют золотой пропорцией.

Симметрия (дихотомия) и золотая пропорция (сечение) пронизывают весь окружающий нас живой мир.

Проведём два  эксперимента на расстояние золотой  пропорции от каждого края. Выбраковываем  бесперспективные интервалы, неопределённость уменьшается на 38,8%. На втором  шаге проведём уже один эксперимент, так  как внутренняя точка по определению находится в точки золотой пропорции оставшегося интервала. Вновь выбраковываем бесперспективный интервал. Далее процесс продолжается осуществляя на каждом шаге по одному эксперименту. Уже после двух шагов золотой пропорции она выигрывает у дихотомии. При этом два шага золотой пропорции соответствуют трём экспериментам, что равноценно одному шагу в дихотомии. Интервал неопределённости после двух шагов сокращается на:

38,8+0,62*38,8=38,8*(1+0,62)=61,8%