Моделирование в металлургии

Если переходная характеристика получена экспериментальным  путём с фиксацией выходной переменной в дискретные моменты времени, то графически она изобразится в виде набора точек  на графике соединенных прямыми линиями.Время инерции при этом определяется проведением прямой через две точки участка с максимальным прищением.     
 

Качественная  теория динамических систем.

Рассмотренных выше динамических характеристик, часто  оказывается недостаточно для анализа  сложного динамического поведения  металлургических процессов. Исследователям, в ряде случаев удается исходя из теоретических соображений и имеющихся эмпирических закономерностей выписать системы дифференциальных уравнений, которые характеризуют динамические поведения систем.

В общем виде система дифференциальных уравнений.

где, Y- вектор выходных переменных анализируемой системы.

Х- вектор выходных переменных анализируемой системы.

(•) –  вектор функция.

Часто это уравнение  удается разрешить относительно первых производных.

; );

Такой тип уравнения  называется эволюционным.                                                        Задача решения этой системы дифференциальных уравнений, связана с получением явного выражения для изменения переменных, входящих в состав вектора, либо получения траектории их движения с помощью численных методов. Любая произвольная переменная вектора Y содержит в себе две составляющие, собственную и вынужденную.

;

Собственная составляющая предопределяется внутренними свойствами системы.

Вынужденная составляющая, характеризует отклик системы на изменяющиеся входные воздействия Х.

Как правило  исследователя интересует поведение  собственной составляющей движения, которая предопределяет динамические свойства системы. Поэтому ниже будем рассматривать динамическое поведение в виде: , предполагая что входное воздействие Х находится на постоянном уровне и свободное движение порождается изменением начальных условий, или разовым скачкообразным изменением входных переменных Х. В записанном уравнении отсутствуют вторые производные от Y и производные более высокого порядка, но это не упрощает математическую модель, так как заменой переменных, расширяя вектор Y , дифференциальное уравнение высокого порядка всегда может быть переведено в систему дифференциального уравнения первого порядка.  К сожалению и в всистеме нелинейных дифференциальных уравнений может отсутствовать решение, а использование численных методов дает, лишь локальное решение, не позволяя получить целостную картину поведения системы, во всей области допустимых значений компонентов вектора Y . В этих условиях прибегают к использованию качественной теории динамических систем, разработанной в конце 19 века французским физиком и математиком Анри Пуан Коре.

   С помощью  этой теории, не решая дифференциальные  уравнения, удается определить  качественную картину характера поведения динамической системы, в различных областях изменения переменной Y. Здесь важно обратить внимание на понятие устойчивости динамических систем.

Для линейных систем понятие устойчивости носит абсолютный характер.

Система либо устойчива, либо неустойчива.

 f  

 F   

  

Рис.1. «Устойчивая  система»

 f 
 
 
 

Рис.2. «Неустойчивая  линейная система»

Для нелинейных систем понятие устойчивости, как  правило носит локальный характер.  

У данной  геометрической системы имеется пять  точек пространства состояний, в которых система без дополнительных внешних воздействий может находиться в состоянии покоя, эти координаты называются точками равновесия, причем две из них – точки устойчивого равновесия, а три точки неустойчивого равновесия. Так как любое малое возмущение выталкивает систему с точки неустойчивого равновесия. Все другие координаты являются не устойчивыми и удержать в них систему можно лишь приложив специальное дополнительное входное воздействие. 

Фазовая плоскость. Траектория. Портрет.

Рассмотрение  качественной теории динамических систем. Рассмотрим со случая двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Плоскость с  коэффициентами у₁ и у₂ Пуанкорэ назвал  фазовой плоскостью. Иногда её называют плоскостью пространства состояния. В любой конкретный момент времени состояние системы оценивается определённой точкой на этой плоскости.

 Y1   •

                                                                      •

      Y2

Находясь в  движении система в следующий  момент времени перейдёт в другую точку. Продолжив движение на фазовой плоскости будет выписываться некоторая траектория движения которую называют фазовой траекторией. А весь комплекс видов движения системы на фазовой плоскости в допустимых областях изменения переменных у принято называть фазовым портретом системы. Свободное движение системы всегда осуществляется некоторым равновесным состоянием, как это отмечалось в предыдущем разделе. Точки равновесия легко получить из исходных систем дифференциальных уравнений прировняв производные к нулю, и решив соответствующую систему двух алгебраических уравнений. То есть Пуанкорэ показал, что у системы двух линейных дифференциальных уравнений возможны лишь пять типов движения, каждая из которых имеет специальную фазовую траекторию. Это: устойчивый и неустойчивый узел; устойчивый и неустойчивый фокус; а так же цикл. Кроме того есть одна специальная особая точка на фазовой плоскости называемая седловой.

1. Устойчивый узел (УУ) – отражает не колебательное (апериодическое) движение системы к точке устойчивого равновесия (у₁^*;у₂^*) ниже приведём их фазовый портрет и временную диаграмму изменения переменной у.

          y2

                                    •

   

                                                                              y1

               
 

                   y2 

                          • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 

            t 

                                      

Таким образом  в окрестности  точки равновесия все траектории притягиваются  к ней. На временной диаграмме для простоты  представлена лишь одна из координат у.

2. Неустойчивый узел (НУ) – характеризует апериодическое (не колебате
3. льный) уход системы из точки неустойчивости равновесия.

      y2

                                  •

   y1

 y 

 • • • • • • • • •  • • • • • • • •  • • • • • •

                                                t

4. Устойчивый фокус (УФ) – характеризует колебательный приход системы в точку устойчивого равновесия.

 

Отдельная фазовая  траектория при этом имеет спиралевидную форму.

5. Неустойчивый фокус (НУ) – характеризует колебательный уход системы точки неустойчивого равновесия.

 

 

6. Цикл –  характеризует возникновение в  системе не затухающих колебаний  при неизменных входных воздействиях и постоянных внутренних параметров системы. Все траектории в окрестности цикла притягиваются к нему. Причём внешние траектории накручиваются на цикл, а внутренние раскручиваются до него. Внутри  цикла обязательно должна находиться как минимум одна точка неустойчивого равновесия.

Такой тип движения не линейной системы часто называют автоколебание. На входе все постоянные в системе неизменно, но она переходит в режим неустойчивого затухающих колебаний. Такой тип движения характерен  только для линейных систем, в линейных он принципиально невозможен.

Грубым примером такой системы могут служить  маятниковые часы. Так как траектории притягиваются к циклу все  точки на цикле притягиваются  множеством, а  точки устойчивого  равновесия  притягивающими точками. Их равно, как и цикл Пуанкорэ назвал аттракторами.

Траектории на фазовом портрете не могут пересекаться, ибо пересечение траекторий свидетельствует  о том, что в точке пересечения  решение системы дифференциальных уравнений отсутствует, ибо имеет  место несколько путей продолжения  этого движения. Единственным случаем такой ситуации на фазовой плоскости является седловая точка с окружающим его седловым многообразием.

В седловую точку  входят только две траектории и только две траектории из неё выходит. Эти  входные и выходные «усы» называют сепаратрисами. Два входных «уса» характеризуют устойчивое направление движения системы, а две выходные сепаратрисы неустойчивым седлом Пуанкорэ  назвал это многообразие по причине того, что трёх мерное изображение движения похоже на седло. В седловой точки система не имеет решения, эту точку часто называют точку полу устойчивого равновесия, хотя по большому счёту, это точка неустойчивого равновесия. Седловой точкой является верхнее неустойчивое состояние кругового маятника. Отсутствие решения в этой точке легко понять, ибо встав в верхнее неустойчивого состояние маятника может продолжить движение по пяти траекториям.

Седло характерно тем, что сепаратрисы разделяют  различные виды системы, качественно  отличающихся друг от друга . Например между двумя соседними сепаратрисами может возникнуть цикл, в другой области неустойчивый узел, в третьей устойчивый фокус, в четвёртой устойчивый узел.

Для любой системы  очень опасно находиться в окрестности  любой из сепаратрис и тем более  в непосредственной близости от седловой точки. Ибо небольшие флуктуации параметров системы могут перекинуть её через сепаратрисы в результате чего качественно изменяется поведение системы.          

Поведение нелинейных динамических систем выше второго  порядка.

Если система  описывается более чем двумя  нелинейными дифференциальными, то возможность разнотипных сложных движений в этой системе резко возрастает. В случае трёх нелинейных дифференциальных уравнений имеет место уже не фазовая плоскость, а фазовый объём в коэффициентах (у₁, у₂, у₃).

Фазовая траектория в первом случае может совершать свободное движение внутри этого объёма, выписывая очень сложные структуры движения. Более того точно так же, как обычный цикл рассмотрен выше, эти структуры могут оказываться притягивающими множествами. При этом совершая устойчивое движение, которое так же называются  аттрактором. Если обозначить обычный автоколебательный цикл Q₁, то в системе может возникать и цикл Q_2, Q₃ и так далее, вплоть до Q∞. Причём все соседние траектории в её окрестности будут накручиваться и притягиваться к этим циклам. Рассмотрим примеры некоторых таких циклов.

Цикл Q₂ представляет собой сумму двух разно периодических составляющих, причём не обязано гармонических, например, как это представлено на рисунках.

 +

 =

  

                             

В фазовом объёме при этом возникает вторая петлевая структура, которая может быть производной  конфигурацией. Все близь лежащие  траектории притягиваются к ней. Естественно в фазовом объёме эта траектория не имеет пересечения. В случае цикла Q₃ будет иметь место третья петлевая.

 

В случае Q₈ будет восьмерная петлевая. Такой тип устойчивых видов движений представляет  собой наложенное друг на друга разно периодические составляющие, которые не обязательно должны быть гармоническими, то есть представлять собой синусоиды и косинусоиды. Число этих составляющих определяются порядком цикла Q_n.

До середины 20 века считалось, что такого рода неустойчивые колебания динамической нелинейной системы принципиально невозможны. И лишь в конце 19 века Анри Пуанкорэ предсказал возможность такого вида  сложных структур поведения динамических систем.

Удивительным  является тот факт, что количество разно периодические  составляющих, формирующих общее поведение  системы может быть бесконечно большим. Траектория поведения системы в этом случае напоминает случайный процесс поведения  которого практически не воспроизводится во времени. Обнаружение такого вида движения во второй половине 20 веке нарушало все устои современной науки, ибо до этого считалось, что случайность есть лишь непознанная действительность. То есть если всё узнать  и точно измерить хаотически подобный тип поведения будет полностью объяснён. На поверку оказалось, что на входе в систему всё неизменно, внутри постоянны, а на выходе система генерирует случайный процесс. Вначале  это явление было названо детерминированным хаосом, позже устоялся термин динамический хаос.  Это направление интенсивно развивается с 70-х годов 20 века по настоящее время у истоков этих работ стоял нобелевский лауреат по химии бельгийский учёный Илья  Пригожин. Большой вклад внесли в эти исследования российские и советские учёные. Весь комплекс этих исследований в настоящее время объединяется в рамках фундаментального междисциплинарного направления названного нелинейной динамикой, иногда пользуются термином введённым американцем Хакеном синергетика в переводе с латинского синергетика «согласованное действие».