Моделирование в металлургии

Входные и выходные переменные часто фигурируют не в  абсолютных значениях, а в отклонении от некоторого базового опорного уровня. Здесь уместно разобраться, как в инженерном смысле понимать не линейную зависимость.  Линейный вариант статической модели может быть представлен уравнением  y=a+kx. При записи в отклонении от базового уровня свободный член исчезает, и зависимость примет более простой вид y=kx, k – обычно называют коэффициентом передачи.  Общую линейную зависимость можно представить в виде y=f(x)x/x затем ввести обозначения k=f(x)х, тогда линейная зависимость записывается как y=k(x)x.

Таким образом  не линейность – та зависимость в которой коэффициенты модели зависят от значений входных  переменных. На практике линейных зависимостей практически не существует. Вместе с тем упрощая задачу, исследователи часто пользоваться линейными зависимостями.  Линеоризуя задачу в окрестности некоторого базового опорного уровня. Для этого реальную не линейности разлагают в ряд Тейлора в окрестности базовой точки (режима) отбрасывая все члены кроме линейного. Здесь всегда необходимо помнить, чем сильнее мы отклоняемся от базовой точки, тем менее точной становится линейная проксимация. Пользуясь линейными зависимостями всегда необходимо отмечать и помнить в какой области переменных она построена и в каких отклонениях от базового режима она ещё оказывается справедливой.  В целом статические зависимости называют статическими характеристиками. Приведём три типичных гладких статических характеристики.

     
 

1. линейная  характеристика
2. характеристика с насыщением при больших x и разгоном при малых, её часто называют S- образной характеристикой
3. экстремальная

 

  

Приведем приёмы таких характеристик.

Пример 1. Связь положения перекрываемого квадратный боров шибера, квадратной заслонкой.  

Пример 2. Круглый газопровод перекрываемый  квадратной  задвижкой.  

Пример 3. Связь температуры  в нагревательной печи l коэффициентом избытка воздуха (α). Если α=1 – то значение воздуха подаваемого на горение которое теоретически необходимо для полного сжигания топлива. При α<1 имеет место недожог, кислорода не хватает на сжигание всего топлива, поэтому двигаясь к 1 будет иметь место нарастание температуры.  При α=1 мы ещё не достигаем максимума, так как на практике каждая молекула кислорода не сможет найти свою молекулу топлива. При этом будет достигаться максимума при α=1,1-1,15. При дальнейшем увеличении α воздух начинает остужать пламя из-за его избытка естественно, что количество подаваемого воздуха зависит  от состава, калорийности  топлива. 
 

Статические характеристики могут определяться экспериментально либо теоретически. В третьем примере  характеристику определяют экспериментально. 

Статистические  методы оценки зависимости  между переменными.

При экспериментальном  статистическом подходе на объекте  исследования собираются исходные данные. Обработка которых осуществляется, как правило, статистическими методами. Так как значения контролируемых экспериментальных данных до измерения точно  предсказать невозможно, все переменные рассматриваются как случайные величины, а если измерения упорядочены во времени и (или) пространстве, серию таких измерений называют случайный процесс или просто временным рядом.  Как правило, рассчитываются не только взаимосвязи между переменными, но и собственно характеристики каждой отдельно взятой случайной величины или временного ряда, при этом говорят об одномерной случайной величине. Наиболее полно случайная величина характеризуется её законом распределения вероятности. Р(х), которая представляет собой не убывающая функция не изменится от 0 до 1.

Вероятность соответствующая  точки х_i говорит о вероятности того, что случайная величина примет значение от  -    до х_i. Более широко используется плотность распределения вероятности.

P(x)=dP(x)/dx.

Она характеризует  вероятность попадание  случайной  величины в интервал определённой ширины.

   По  форме плотности распределения вероятностей можно судить о характере поведения анализируемой случаемой величины.                                                        Дискретным вариантом распределения P(x) является гистограмма, которая строится по данным, когда область варьирования разбивается на несколько интервалов. Чаще на нечетное количество и подсчитывается число данных попавших в каждый из интервалов, чем больше данных, тем больше число разбиения можно выбрать. Принято считать, что количество интервалов должно быть в 8-10 раз меньше количества исходных данных. Иногда, в литературе массив исходных данных называется выборкой, ее размер обозначают большой буквой «М».

С гистограммами  рассчитывают численное значение некоторых  интервальных показателей, в среднем  характеризующее поведение поведение  случайной величины. В основном это характеристики положения и разброса случайной величины. К характеристикам  положения относятся:                                                                         
 
 

-Среднее  значение.

Которое по непонятным причинам называют математическим ожиданием.

- Мода (Мо).

Мода представляет собой наибольшее вероятное значение случайной величины. На практике его выбирают, как середина наиболее вероятного интервала.                                                                                      

 
 
 
 

                      Мо

-Медиана.

Представляет  собой центральное значение ряда исходных данных.                        Пример имеются данные:                                                                                                            3;1;4;2;5.  Ме=3.                                                                                                              Если данные упорядочить по возрастанию или убыванию это будет центральным значением.                                                                                                          На практике часто пользуются комбинацией среднего значения и медианы, когда отдельные крайние значения выбрасываются, а по остальным считается среднее.

    К  характеристикам относятся:

-Дисперсия.

 

- Среднеквадратичное  отклонение.

Иногда называют стандартным отклонением.

- Среднемодульное  отклонение. 

                                                        

Прикидочной оценкой  разброса случайной величины может  служить размах:

  P=xmax-xmin ,

Иногда оперируют  величиной полуразмаха P/2 или Р/6. Так как при определенных условиях  .  В EXCEL в пакете анализа данных его называют полуинтервал. Часто полезным является расчет ассиметрии, которая характеризует степень несимметричности гистограммы.             

   При анализе  данных всегда необходимо обращать  внимание на аномальные наблюдения.

Следует обращать внимание и на форму  гистограммы.

                                         Целесообразно массив разделить  на двое, так как они             отражают разные режимы работы.

   После  характеристик одномерных случайных  величин переходят к оценке  взаимосвязи их между собой.  Для этого осуществляют расчет  коэффициентов ковариации и корелляции.

- Коэффициент ковариации.

 

Чтобы уйти от масштаба рассчитывают коэффициент корелляции.

 

Характеризует степень линейной связи между переменными.                                      Если , то имеет место строго-функциональная прямая  или обратная линейная связь между переменными.

      y   r =+1 
 

      r = -1

        x

Чем сильнее  размыт элипсойд исходных данных на корреляционном поле, тем меньше по абсолютному значению коэффициент корреляции.

 у 

 r 0,6 

     х

Если параллельно  осям абсцисс и ординат , то r=0.

Коэффициент корелляции отражает только степень линейной связи. Можно привести пример строго-функциональной не линейной связи, взяв точки на параболе, коэффициент корреляции в этом случае будет равен нулю.

Чтобы отразить связь, необходимо рассчитать корреляцию с у. Следует помнить, что коэффициент корреляции нелинейно связан со степенью линейной зависимости, между переменными. Полезнее рассчитывать коэффициент детерминации:

Коэффициент детерминации ( в EXCEL – коэффициент достоверности.) говорит о том на сколько процентов вариация одной переменной объясняется за счет вариации другой.

Всегда необходимо строить корреляцию, после осуществляя  их взаимный анализ. Форма корреляционного  поля часто может оказаться больше чем коэффициенты корреляции.

Для оценки связи  выходной переменной с несколькими  входными переменными прибегают  к построению регрессионных уравнений  вида:

y_i=a_o+a₁f₁(X_i)+a₂f₂(X_i)+…+a_nf_n(X_i)+ε_i;

где  у –  выходная переменная;

       Х – вектор входной переменной;

       i – номер наблюдения   i=1,N;

      f(∙) – за ранее полностью определённое функция о переменных вектора Х.

А коэффициенты  подлежат определённому по всему  объёму данных и называются коэффициентами регрессии.

Для определения  коэффициентов регрессии используется метод наименьших квадратов.

       ε_i – не наблюдаемая приведённая к выходу объекта возмущения (приведённая помеха).

Она включает в  себя ошибки измерения переменной  у и действие прочих неучтённых в уравнении входных воздействий. Обращает на себя внимание тот факт, что уравнение регрессии является  линейным относительно неизвестных коэффициентов а.

Функции f выбираются исходя из специфического описания конкретного объекта, это может быть х²; 1/х₁;ln х и т.д.

Точность множественных  связей оценивается по величине остаточной дисперсии:

σ_ост²=1/NƩ(y_i-y_i)²;

где у – наблюдаемое  значение переменной у;

       у – значение рассчитанное  по регрессионному уравнению.

y_i= a_o+a₁f₁(X_i)+a₂f₂(X_i)+…+a_nf_n(X_i).

Так же для оценки точности уравнения используется множественный  коэффициент корреляции, который представляет собой коэффициент парной корреляции между переменными  у,у. Обычно его обозначают – R. Между множественным коэффициентом корреляции и остаточным средне квадратичным отклонением существует взаимно-однозначная связь.

R=

.

Так же как и в корреляционном анализе полезно пользоваться множественным коэффициентом детерминации: