Моделирование в металлургии

R²=1 – σ_ост/σ_у.

Часто выражают в процентах:

R²=(1 – σ_ост/σ_у)*100%.

В отличии от обычного коэффициента корреляции множественный  (R) коэффициент не принимает отрицательных значений и меняется от 0 до 1. Ибо он характеризует то, на сколько «похожи» (близки) фактическая  у и расчётная у  значения.  Обычно технологи стараются интегрировать коэффициенты регрессии, а в терминах причинно-следственной связи, но при этом необходимо учитывать целый набор ограничений лежащих в основе регрессионного анализа в первую очередь в теории регрессионного анализа отмечается, что переменная вектора Х должны  измеряется без ошибочно и не должно быть ошибок структуризации, то есть функцию f(∙) должны описывать реальные закономерности анализируемой системы. Лишь при выполнении этих требований можно говорить об удовлетворительном интегрировании коэффициентов регрессии в терминах причинно-следственных связей. Другие жесточайшие ограничения являются требования отсутствия корреляции  у,ε.

τ_уε=0.

Если эти ограничения  не выполняются уравнение регрессии  может использоваться для прогнозируемой переменной  у по переменным Х , но давать технологическую трактовку коэффициента регрессии в этом случае недопустимо.

Важным моментом является проверка точности построенного уравнения регрессии. Недопустимо  ограничиваться просто расчётом  σ_ост и R², ибо эти коэффициенты рассматриваются по той же выборке, по которой определяется методом наименьших квадратов наилучшее значение коэффициентов регрессии.  Эту выборку принято называть обучающей, для оценки надёжности построенного уравнения и фактической его эффективности необходимо собрать дополнительный объём данных, и на нём по ранее рассчитанному уравнению регрессии просчитать значение  у . Этот новый объём данных часто называют экзаменующей выборкой. Он позволяет проверить воспроизводительность прогнозируемых результатов. Просчитанным на экзаменационным результатом рассчитывают новое значение  σ_ост и R², сравнивая их с данными, полученными на обучающей выборке. Если расхождения в точности на обучающей и экзаменационной выборках не существенны, то можно говорить о достаточно высокой надёжности регрессионной зависимости и возможности его дальнейшего использования в целях прогноза выходной переменной   у.

В заключении отметим, что объём данных N должен быть как минимум в 10-20 раз больше количества оцениваемых коэффициентов регрессии, в противном случае надежных зависимостей мы не когда не получим.

До сих пор  мы рассматривали переменные  х  и у, как случайные величины, в которых по умолчанию предполагается, что соседнее  наблюдение является независимыми и данные могут быть спокойно перетасованы без потери какой-то ни было содержательной информации. В металлургических процессах последовательность исходных данных имеет важное значение, как правило,  таящее в себе глубокий содержательный смысл. В статистике в этом случае представляют переход от случайных величин к случайным процессам.

В прикладных исследованиях  вместо случайных процессов часто  фигурирует термин временные ряды. Глядя на графические изображения, временных рядов исследователь без всяких расчетов чисто визуально, как правило, может извлечь существующую дополнительную информацию о поведении системы. Всегда полезно строить графики изменения во времени исходных данных с последующей попыткой их серьёзного содержательного анализа  соседнее наблюдение во временных рядах, как правило, сильно взаимосвязаны. Для оценки этой взаимосвязи используют так называемые коэффициенты автокорреляции. Для этого ряд исходных данных сдвигает сам относительно себя на 1 наблюдение, и ищут коэффициент корреляции между исходным и сдвинутым рядом. Затем временной ряд  можно сдвинуть на 2 наблюдения и вновь рассчитать коэффициент корреляции. Процесс можно продолжить ниже обозначим величину сдвига  Δ, тогда можно построить функцию  r(Δ).

Эту функцию  называют автокорреляционной функцией. Δ соответствуют сдвигу исходного ряда относительно себя в противоположном направлении. Очевидно, что эта функция чётная, поэтому строят лишь её половину в первом квадрате. По виду автокорреляционной функции  можно делать достаточно надёжные заключения о том, на сколько шагов вперёд может быть спрогнозирована анализируемая переменная по поведению её предыдущих значений.

В целом теория случайных процессов охватывает широчайший спектр дополнительных методов  и задач, здесь лишь отметим тот  факт, что временные ряды всегда необходимо подвергать детальному анализу, как минимум на визуальном уровне прибегнув так же к построению автокорреляционной функции.

Динамические  характеристики системы.

Поведение системы  в динамике, то есть переходных режимах  математически описываются с  помощью дифференциальных уравнений, но часто на практике оказывается достаточно пусть несколько упрощённо оценивать поведение системы в динамике с помощью набора простых и понятных в физическом смысле динамических характеристик. Рассмотрим их на примере анализа переходной характеристики являющейся динамической реакции системы на ступенчатое входное воздействие. Эти характеристики часто удаётся получить экспериментальным путём, для этого на реальном объекте скачком изменяют интересующую нас входную переменную, фиксируя при этом динамические изменения выходных переменных, во времени от старого до нового установленного состояния. Экспериментатор при этом должен детально следить за тем, чтобы другие входные воздействия в период переходного процесса. Реакцию выходной переменной  на ступенчатое входное воздействие принято называть переходной характеристикой или кривой разгона.

y

       tпп

                T

  

 

 𝛥y

 t

 𝛥x

 

      t

τ – время  запаздывания, то есть время в течении  которого выходная переменная не реагирует на входное воздействие. Время запаздывания характеризует транспортирующее свойство  системы, поэтому его часто называют транспортным запаздыванием.

Пример 1. Объект транспортёр входная величина загрузка на входе транспортируемая выходная величина количество материала на выходе транспортёра. Очевидно, что материал на выходе изменит свой расход через время пропорционально длине транспортёра и обратно пропорционально скорости его движения.

Пример 2. При  изменении рудной нагрузке содержание Si в чугуне будет начинать меняться лишь через 4 – 6 часов после того как новый состав шихты подойдёт к горизонту фурмы.

Пример 3. Измерение  газового анализа в кислородном  конверторе. Некоторое время конверторные газы поднимаются по газоходу, после взятия пробы она охлаждается и осуществляется химический анализ. Таким образом запаздывание в получении химического состава составляет от 15 до 30 секунд, то есть на экране дисплея мы видим химический состав отходящих газов который был в конверторе на величину τ в прошлом. 

Т – время  инерции, которое характеризует  инерционные ёмкостные свойства системы. В зависимости от типа систем инерционность предопределяется объёмом  в котором перемешивается материал, ёмкостью  конденсаторов в электрической  системе, массой движущихся объектов.

Т – это время  в течении  которого система перешла  бы из старого в новое установленное  состояние, если бы всё время двигалось  с максимальной скоростью.

Чем более инерциальна  система, тем сильнее она сглаживает высокочастотные изменения имеющие место на её входе.

Пример 1. Автомобиль с инерциальной подвеской практически  не чувствует небольшие шероховатости  на дороге.

Пример 2. Материал загружается в доменную печь порциями руды и кокса. Частота их поступления 2 – 5 минут, но на выходе печи, за счёт инерциальных свойств доменный процесс фильтрует эти высоко частотные воздействия.

Пример 3. Бак  над душем в который поступает  горячая и холодная вода. Входная  переменная изменение расхода горячей  воды на входе, выходная температура  воды на выходе душа. Чем больше ёмкость промежуточного бочка, тем меньше колебания температуры воды в душе.

Пример 4. Движение транспортных средств чем больше вес транспорта. Тем длительнее тормозной  путь этого средства. У велосипеда это сантиметры, у легкового автомобиля десятки метров, у КАМАЗА значительно  больше, а у железнодорожного состава может достигать более 1 км.

Движение инерциального  объекта при изменении входного воздействия всегда плавне и дольше.

Инерционность полезна при работе систем в штатном режиме, то есть в режиме нормальной эксплуатации, но может оказать негативное воздействие на систему в аварийных и предаварийных ситуаций.

Запаздывание  в отличии от времени инерции  всегда негативно сказывается на работе системы и сильно ухудшает её управляемость.

t_пп – длительность переходного процесса. Это время от нанесения ступенчатого воздействия на входе до момента выхода системы на новое установленное состояние. Если принимать объект линейным то из приведённой переходной характеристики легко вычислить коэффициентов передачи:

К=Δу/Δх.

Важно отметить, что для линейных систем и систем близких к линейным все четыре показателя τ, Т, t_пп, К остаются неизменными при изменении знака и величины Δх.

Знание численных  значений динамических характеристик  и понимание их физического смысла дают возможность более квалифицированно осуществить управление сложными металлургическими процессами. Особенно это касается непрерывных металлургических процессов таких, как доменный и агломерационный.

По виду переходной характеристики можно приближённо оценить линейным дифференциальным уравнением какового порядка может быть описана система по изучаемому каналу «вход – выход».

y Т                    Т

 
 

                                                                                                                       t 

На приведённом  рисунке переходная характеристика имеет формулу экспоненты, а следовательно  канал описывается линейным дифференциальным  уравнением 1-го порядка:

Тdy_t/dt=y_t+kx_t-τ

Время инерции  и запаздывания в этом случае позволяет точно восстановить исходное  дифференциальное уравнение. Существуют 2 инженерных приёма проверки факта возможности аппроксимации переходной характеристики экспоненты.

Приём 1. Касательная  к любой точки переходной характеристики даёт значение одинаковых Т, при этом  время отсчитывается от точки к которой проведена касательная до пересечения ею нового установленного значения  у.

Приём 2. Связан с определением длительного переходного  процесса по Т и τ

t_пп=τ+3Т

Оба эти проверочных условиях вытекают из математических свойств экспоненты. Если объект описывается  линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка, то он относится к категории одно ёмкостных, при этом под ёмкостью может пониматься определённая область доменной печи, однородная огнеупорная кладка, количество металла  в кислородном  конверторе и так далее.  Если кривая разгона имеет форму зеркально симметрично относительно точки перегиба, то объект может быть аппроксимирован линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка, который описывает поведение двух ёмкостного объекта, то есть в системе по каналу «вход – выход » присутствуют две разнородные области со специальными свойствами.y

       

 
 

                                                                t

 
 
 

Пример 1. Два  последовательно соединенных бочка  различного объёма с идеальным перемешиванием. Вход концентрация или температура  на входе первого бочка, выход  концентрация или температура на выходе второго бочка.

Пример 2. Вход расход топлива, выход температура методической печи при отсутствии металла в нагреве. Первая ёмкость воздушное пространство печи, вторая огнеупорная кладка.

Если переходная характеристика имеет произвольную форму без зеркальной симметрии  и с не максимальной начальной  скоростью движения, то система может быть удовлетворительно апраксимированна лишь дифференциальным уравнением 3-го либо большего порядка. А сама система должна быть отнесена к классу ёмкостных систем.