Шпаргалка по "Математике"

    Дисперсией  называется математическое ожидание квадрата отклонения случайных величин от математического ожидания:

    D[Х]=M[X-M(X)]2

    Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

    Свойство 2. постоянную величину можно вынести  за знак дисперсии, предварительно возведя  ее в квадрат:

    D(cX) = c2D(X)

    Свойство 3. Дисперсия суммы независимых  случайных величин Х и Y равна  сумме их дисперсий:

    D(X+Y) = D(X) + D(Y), от сюда следствие:

    если  х1, х2, ..., хn  - случайные величины, каждая из которых независима от суммы  остальных, то

    D(X1+X2+...+Xn) = D(X1) + D(X2)+...+D(Xn).

    Моментом k-порядка называется математическое ожидание k-й степени отклонения случайной величины Х от некоторой постоянной с.

    Если  в качестве с берется нуль, моменты  называются начальными

    νk = М(Х)k

    Если  с = М(Х), то моменты называются центральными

    μ = M[X – M(X)]k 
 
 
 

    Непрерывные случайные величины

    Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно.

    F(х)

    f(x)=F’(x)    

    Случайная величина  называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция* , удовлетворяющая для любых значений x равенству

    

    Функция называется плотностью распределения вероятностей, или кратко, плотностью распределения. Если x1<x2,

    f(x)>=0

    

    Исходя  из геометрического смысла интеграла  как площади, можно сказать, что  вероятность выполнения неравенств

    равна площади криволинейной трапеции с основанием [x1,x2], ограниченной сверху кривой  

      
 
 
 
 

    Функция распределения непрерывной  случайной величины

    Универсальной формой задания распределения двумерной  случайной величины является функция распределения (или «интегральная функция»), пригодная как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины, обозначаемая Fx,y{x,y) или просто F(x,y).

    Функцией  распределения двумерной  случайной величины (X, У) называется функция F(x, у), которая для любых действительных чисел х и у равна вероятности совместного выполнения двух событий {X < х) и {У < у].

    Таким образом, по определению

    F(x,y) = P{X <x,Y <у}

    (событие  {X < x,Y < у] означает произведение событий {X < х} и {Y<y})

    Функция распределения двумерной  случайной величины(x,y) находится суммированием всех вероятностей

      Плотность вероятности  непрерывной случайной  величины

    Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее

    функция распределения  F(x,y) есть непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, у которой существует вторая смешанная производная F"_y(x,y). 

    Плотностью  распределения вероятностей (или совместной плот-

    ностью) непрерывной двумерной случайной величины (X, У) называется вторая смешанная производная ее функции распределения.

    Обозначается  совместная плотность  системы двух непрерывных  случайных величин  (X, У) через f(x,y) (или р(х,у)). Таким образом, по определению

    

    Плотность распределения вероятностей непрерывной двумерной  случайной величины (X, Y) есть предел отношения вероятности попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник со сторонами дельтаХ и дельтаУ примыкающий к точке (х,у), к площади этого прямоугольника, когда его размеры дельтах и дельтау стремятся к нулю

      
 
 
 
 
 

      Свойства плотности вероятностей

    Плотность распределения f (х, у) обладает следующими свойствами:

    1. Плотность распределения двумерной  случайной величины неотрицательна, т. е.

    2. Вероятность попадания случайной  точки (X, Y) в область D равна двойному интегралу от плотности по области D, т.е.

    

    3.   Функция распределения двумерной  случайной величины может быть  выражена через ее плотность  распределения по формуле: 
 
 

    

    4. Условие нормировки: двойной несобственный  интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной с. в. равен единице, т. е.

    

    5.   Плотности распределения одномерных  составляющих X и У могут быть найдены по формулам:

    -

      
 
 
 
 
 

    Математическое ожидание и дисперсия

    На  практике чаще всего используются моменты I и II порядков: математическое ожидание (м. о.), дисперсия и корреляционный момент. Математическое ожидание и дисперсия двумерной случайной величины служат соответственно средним значением и мерой рассеяния. Корреляционный момент выражает меру взаимного влияния случайных величин, входящих в систему (X, У).

    Математическим  ожиданием двумерной  св. (X,Y) называется совокупность двух м.о. MX и MY, определяемых равенствами:

    если (Х,У) — дискретная система с. в. (здесь рij — Р{Х = Xi_,Y = yj}); и

    если  (X,Y) — непрерывная система св. (здесь j(x,y) — плотность распределения системы).

    Дисперсией  системы со. (Х.У) называется совокупность двух дисперсий DX н DY, определяемых равенствами:

    

    если (X, Y)- дискретная случайная величина

    

    если  (X, Y) — непрерывная система с. в.

    Дисперсии DX и DY характеризуют рассеяние (разброс) случайной точки {X, У) и в направлении осей Ох и Оу вокруг точки (т_х,т_у) на плоскости Оху — центра рассеяния.

    Математические ожидания mx, и m_у являются частными случаями начального момента a порядка k + в системы (X. У), определяемого равенством

    Aks, = M[X^kYs);

 

    Дисперсии DX и DY являются частными случаями начального .момента   Aks    порядка к + s системы {X, У), определяемого равенство

    Математическое  ожидание св. u{X,Y), являющейся функцией компонент X и У двумерной с. в. (X, У) находится, аналогично, по формулам

    для непрерывного случая и   

    для дискретного случая. 

    Начальный момент II порядка a1_,1 = MXY часто встречается в приложениях. Вычисляется по формуле

    

    для дискретных с.в

    

    для непрерывных с. в.