Шпаргалка по "Математике"

    дифференциальные  уравнения.

          Решение различных  геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые  переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

          В качестве примера  можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.

          Известно, что перемещение  материальной точки при равноускоренном  движении является функцией времени  и выражается по формуле:

          В свою очередь ускорение  a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S.  Т.е.

    

    Тогда получаем: - уравнение связывает функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).

          Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

          Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

          Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

          Пример.

     - обыкновенное дифференциальное  уравнение 1 – го порядка. В  общем виде записывается  .

     - обыкновенное дифференциальное  уравнение 2 – го порядка. В  общем виде записывается 

    

    - дифференциальное  уравнение в частных производных  первого порядка.

          Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = j(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

    Свойства  общего решения.

          1) Т.к. постоянная  С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

          2) При каких- либо  начальных условиях х = х₀, у(х₀) = у₀ существует такое значение С = С₀, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = j(х, С₀).

          Определение. Решение вида у = j(х, С₀) называется частным решением дифференциального уравнения.

          Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С₀), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀.

          Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

          Если  функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х₀, у₀) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х₀, принимающее при х = х₀ значение j(х₀) = у₀, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

          Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

          Пример.  Найти  общее решение дифференциального  уравнения  .

    Общее решение дифференциального уравнения  ищется с помощью интегрирования  левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

    

          Теперь интегрируем: 

 

     - это общее решение исходного  дифференциального уравнения. 

          Допустим, заданы некоторые  начальные условия: x₀ = 1; y₀ = 2, тогда имеем

    

          При подстановке  полученного значения постоянной в  общее решение получаем частное  решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

    

          Определение. Интегральной кривой называется график y = j(x) решения дифференциального уравнения  на плоскости ХОY.

          Определение.Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

    Особые  решения не зависят от постоянной С.

          Особые решения  нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С.  Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

          Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.

          Пример. Найти общее  решение дифференциального уравнения: Найти особое решение, если оно существует.

      

      

    

          Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С₁ = 0 ошибочно, ведь C₁ = e^C¹ 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Диф. Уранения первого  порядка 

    Дифференциальным  уравнением первого  порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

    Решение:

     ;

    Функцию f(x,y) представим в виде: тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:  

    Уравнения с разделяющимися переменными

           Дифференциальное  уравнение  называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде .

          Такое уравнение  можно представить также в  виде:

    

    Перейдем  к новым обозначениям

    Получаем:                                          

          После нахождения соответствующих  интегралов получается общее решение  дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

          Если заданы начальные  условия, то при их подстановке в  общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное  решение.

      

    

      
 
 
 

    Однородные уравнения.

          Функция f(x, y) называется однородной относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

    Является  ли однородной функция 

     функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.

          Любое уравнение  вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

          Решение любого однородного  уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

          Рассмотрим однородное уравнение 

    Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

    Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем:

          Правая часть полученного  равенства зависит фактически только от одного аргумента  , т.е.  

    Исходное  дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:

    Далее заменяем y = ux, .

    таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной  функции u.

    Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

    Решить  уравнение  . 

    Введем  вспомогательную функцию u.

    

.

    Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее .

    Подставляем в исходное уравнение:  

    

 

    Разделяем переменные:  

    Интегрируя, получаем:  

    Переходя  от вспомогательной функции обратно  к функции у, получаем общее решение: 

    

 
 
 
 

    Уравнения в полных дифференциалах.

    Дифференциальное  уравнение первого порядка вида:

    называется  уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции

          Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение находится в виде:

          Если дифференциальная форма  является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:    Т.е

    Найдем  смешанные производные второго  порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:

    Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.

    

          Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции  u.

    Проинтегрируем  равенство  :

    Вследствие  интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром.

          Определим функцию  С(у).

    Продифференцируем полученное равенство по у.

    

    Откуда  получаем: