Шпаргалка по "Математике"

    Можно доказать что вероятность появления  m событий простейшего потока за время продолжительностью tопределяется формулой Пуассона

      Р_t (m) = p (m) = (λt)^m *e^-λt/m!

    Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

    Локальная теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постояннаи отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность Р_n (m) может быть вычислена по приближенной формуле

    P_n(m) = 1/ √npq * 1/ √2П * е^-х2/2, где х=m-np/ √npq

    Выражение  1/ √2П * е^-х2/2 = ɸ(x) называется функцией Гаусса, а ее график кривой вероятностей.

    Равенство можно расписать в виде P_n(m) = 1/ √npq *ɸ(x), где х=m-np/ √npq

    Интегральная  теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Р_n (k₁≤m≤ k₂) может быть найдена по приближенной формуле

    Р_n (k₁≤m≤ k₂) = 1/ √2П∫^х2_х1 е^-х2/2dx, где х₁=k₁-np/ √npq, х₂=k₂-np/ √npq

    Равенство принимает вид Р_n(k₁≤ m ≤ k₂) = Ф₀ (х₂) – Ф₀ (х₁), гдех₁=k₁-np/ √npq, х₂=k₂-np/ √npq

    Наряду  с номированной функцией Лапласа  используют функцию , ɸ(x) =1/ √2П ∫^х_-∞ е^-t2/2dt,  Ф (х) =0,5 +Ф₀ (х) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Понятие случайной величины.

    Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины.

    Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

    Случайные величины (сокращенно: св.) обозначаются прописными латинскими буквами X, У, Z,... а принимаемые ими значения

    Х1,Х2,Х3…..У1,У2,У3….

    Примерами с. в. могут служить: 1) X — число очков, появляющихся при бросании игральной кости; 2) Y — число выстрелов до первого попадания в цель; 3) Z — время безотказной работы прибора и т.п. (рост человека, курс доллара, количество бракованных деталей в партии, температура воздуха, выигрыш игрока, координата точки при случайном выборе ее на [0; 1], прибыль фирмы, ...).

    То  есть д. с. в. принимает отдельные  изолированные друг от друга значения, а н. с. в. может принимать любые значения из некоторого промежутка (например, значения на отрезке, на всей числовой прямой и т.д.). Случайные величины X и Y (примеры 1) и 2)) являются дискретными. С. в. Z (пример 3)) является непрерывной: ее возможные значения принадлежат промежутку То есть д. с. в. принимает отдельные изолированные друг от друга значения, а н. с. в. может принимать любые значения из некоторого промежутка (например, значения на отрезке, на всей числовой прямой и т.д.). Случайные величины X и Y (примеры 1) и 2)) являются дискретными. С. в. Z (пример 3)) является непрерывной: ее возможные значения принадлежат промежутку [0, t), где t >= 0, правая граница не определена (теоретически t = +оо). Отметим, что рассматриваются также с. в. смешанного типа.

    Дадим теперь строгое определение св., исходя из теоретике-множественной трактовки основных понятий теории вероятностей.

    Случайной величиной X называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий J2, которая каждому элементарному событию w ставит в соответствие число X(w), т.е. X = X(w), теП (или X = f(w)).

    Пример. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На ПЭС fi — = {wi,w2,W3,W4}, ^гд-^{е W}1 ⁼ ГГ, W2 = ГР, Wз = РГ, W4 = РР, можно рассмотреть с.в. X — число появлений герба. Св. X является функцией от элементарного события w_t: X(w\) = 2, X(w₂) — 1, X(w3) ~ 1, X(w₄) = 0; X — д.с. в. со значениями х-\ = 0, х₂ = 1, хз = 2. 
 
 
 
 
 
 
 

    Закон распределения случайной  величины

    Пусть X — д. с. в., которая принимает значения х1, х₂, х₃,..., х_п,... (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероятностью р_i, где i = 1,2,3,...,n,— Закон распределения д. с. в. удобно задавать с помощью формулы р_i = Р{Х = xi_t}, i = 1,2,3,..., n,..., определяющей вероятность того, что в результате опыта с. в. X примет значение х_г. Для д. с. в. X закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения:

 

    где первая строка содержит все возможные  значения (обычно в порядке возрастания) с. в., а вторая — их вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения.

    Так как события {X = х1}, {X — х₂} ... несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице т.е. суммаPi = 1

    Закон распределения д. с. в. можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения с. в., а на оси ординат — вероятности этих значений. Ломаную, соединяющую последовательно точки (xi,p1)_y (х₂,р₂), называют многоугольником (или полигоном) распределения 
 
 

    Характеристики  дискретной случайной  величины

    Числовые  характеристики ДСВХ.  

    Как уже известно, закон распределения  полностью характеризует случайную  величину. Однако часто закон распределения  неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.  

    Математическое  ожидание .

    Математическое  ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Для решения  многих задач достаточно знать математическое ожидание. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше второго. Хотя математическое ожидание дает о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон распределения, но для решения подобных задач ее бывает достаточно.  

      Математическое ожидание ДСВХ равно сумме произведений всех ее возможных значений на их вероятности, т.е. 

    Если  ДСВХ принимает счетное  множество значений, то   

    Свойства  математического ожидания  

    1.      М(С) =С, где С=const; 

    2.      М(СХ)= СМ(Х); 

    3.      М(XY) =M(X)M(Y), где Х и У- независимые  случайные величины; 

    4.      М(Х+У) = М(Х) +М(У), где Х и У- независимые случайные величины. 

    Заметим, что математическое ожидание для  данной ДСВХ есть величина постоянная. 

    Дисперсия.

    Для полного представления о ДСВХ недостаточно знать только математическое ожидание. Иногда математические ожидания случайных величин равны , а их возможные  значения резко отличаются дру от друга. Приведем пример. Даны ряды распределения двух случайных величин Х и У:

    Х      -0,01         0,01

    р          0,5           0,5  

    У          -100        100

    р             0,5         0,5    

    Здесь математические ожидания случайных  величин равны: М(Х) = М(У) = 0, но возможные  значения ДСВХ близки к М(Х), а возможные  значения ДСВУ далеки от М(У). По М(У) нельзя судить о значениях ДСВУ. 

    По  этой причине вводят числовую характеристику, которая называется дисперсией. Эта характеристика оценивает рассеяние случайной величины вокруг своего математического ожидания. 

      Дисперсией ДСВХ (D(X)) называют математическое  ожидание квадрата отклонения  СВ от ее математического ожидания, т.е.

    

    Для вычисления D(X) удобнее пользоваться следующей формулой, которая выводится на основании свойств математического ожидания:

    

    Свойства  дисперсии  

    1.      D(C) =0 , где С = const; 

    2.      D(CX) = C2D(X); 

    Среднеквадратическое  откланение

    Дисперсия величины имеет размерность, что в сравнительных целях неудобно,поэтому вводят Ср.от.

    СКО позволяет сравнивать отклонения различные  по размерным величинам 

    

    Пример:

    х      -1    0     1      2

    р     0,2   0,1   0,3   0,4 

    Мх= (-1*0,2)+0,1*0+0,3+2*0,4=0,9

    Dx= (-1-9)^2*0,2+0,9^2*0,1+(1-0,9)^2*0,3+(2*0,9)^2*0,4=1,29 

    σх= √1,29~1,14 
 
 
 
 

    Свойства  характеристик случайной  величины. 

    Математическим  ожиданием дискретной случайной  величины  Х  , принимающей конечное число значений  хi  с вероятностями  рi , называется сумма:

    М ( Х ) = х1 · р1 + х2 · р2 + х3 · р3 + ... + хn· рn .

    Свойства  математического ожидания:

       1)   М ( с · Х ) = с ·  М ( Х ) ,   c R ,

       2)   М ( Х + Y ) = М ( Х ) + М  ( Y ) ,     Х , Y Е ,

        3)   М ( Х · Y ) = М ( Х ) ·  М ( Y )  для независимых случайных  величин  Х и Y . 

    Дисперсией  случайной величины  Х  называется число:

    D ( Х ) = М{ [ Х – М ( Х )] 2 }= М  ( Х 2 ) – [М ( Х )] 2 .

    Свойства  дисперсии:

       1)   D ( с · Х ) = с 2 · D ( Х ) ,   c R ,  

       2)   D ( Х + Y ) = D ( Х ) + D ( Y ) для  независимых случайных величин  Х  и  Y .

    Среднее квадратичное отклонение:  
 

    !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!ИЛИ  ЭТО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 

    Числовыми характеристиками случайных величин  являются математическое ожидание и  дисперсия, а так же и моменты  случайных величин

    Математическое  ожиданием М(Х) называется средняя  величина возможных значений случайных величин, взвешенных по их вероятности. Выражается формулой:

    Свойство 1. Мат. ожидание постоянной равно этой постоянной.

    Свойство 2. Мат. ожидание суммы случайных  величин равно сумме их мат. ожиданий:

    Из  этого свойства следует следствие:

    Математическое  ожидание суммы конечного числа  случайных величин равно сумме  их математических ожиданий:

    Свойство 3. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин  Х и Y равно произведению математических ожиданий этих вел. M(XY)=M(X)·(M)Y.

    Следствие. Постоянный множитель можно вынести  за знак математических ожидания: М(сХ) = сМ(Х)