Шпаргалка по "Математике"

    Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.

    

    Теперь  определяем функцию С(у):

    

    Подставляя  этот результат в выражение для  функции u, получаем:

    

 

    Тогда общий интеграл исходного дифференциального  уравнения будет иметь вид: 

    

 

          Следует отметить, что  при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена. 
 

    Линейные  уравнения. 

    Дифференциальное  уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

    при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

          P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b. 

    Линейные  однородные дифференциальные уравнения. 

          общее решение линейного  однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

    Рзделение переменных

         

      Общее решение:   

    Линейные  неоднородные дифференциальные уравнения. 

          Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа. 

    Метод Бернулли. 

          Суть метода заключается  в том, что искомая функция  представляется в виде произведения двух функций  .

     - дифференцирование по частям. 

    Подставляя  в исходное уравнение, получаем:

         

    т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.

           

          Таким образом, можно  одну из составляющих произведение функций  выбрать так, что выражение  .

          можно получить функцию  u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение

    

      

          Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю. 

    

    Интегрируя, можем найти функцию v:

                Подставляя полученные значения,  получаем: 

      

          Окончательно получаем формулу:

    

,     С₂ - произвольный коэффициент. 

    Пример.  Решить уравнение  

    Разделим  уравнение на xy²: 

    Полагаем 

    

.

    Полагаем 

    

    

    

    Произведя обратную подстановку, получаем:

    

 
 

    Метод Лагранжа. 

    Метод Лагранжа  решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений

    

    Правея  часть =0   

     .

    Для того, чтобы найти соответствующее  решение неоднородного дифференциального  уравнения, будем считать постоянную С₁ некоторой функцией от х.

          Тогда по правилам дифференцирования  произведения  функций получаем:

    

    Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение 

        

    Из  этого уравнения определим  переменную функцию С₁(х):

    Интегрируя, получаем:  

          Подставляя это  значение в исходное уравнение, получаем: 

    

.

          Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий  с результатом расчета по методу Бернулли. 

          При выборе метода решения  линейных дифференциальных уравнений  следует руководствоваться  простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.

    Решить  уравнение   

    Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду:

    Применим  полученную выше формулу:

    

    

    

 
 
 

    Уравнения, допускающие понижение  порядка.

          Понижение порядка  дифференциального уравнения –  основной метод решения уравнений  высших порядков. Этот метод дает возможность  сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

    Уравнения вида y⁽ⁿ⁾ = f(x).

          Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.

    

    

    ……………………………………………………………. 

    

 

    Уравнения, допускающие понижение порядка 

    одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является ме-тод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью заме-ны переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже. 

    Рассмотрим  три типа уравнений, допускающих  понижение порядка. 

    I. Пусть дано уравнение 

      

    Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у'=р(х). Тогда у''=p'(x) и получаем ДУ первого порядка: p'=ƒ(х). Решив его, т. е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение y'=р(х). Получим общее решение заданного уравнения (3.6). 

    На  практике поступают иначе: порядок  понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения. 

    Так как уравнение  можно записать в виде dy'=ƒ(х) dx. Тогда, интегрируя уравнение y''=ƒ(х), получаем: y'= или y'=j1 (x)+с1. Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим: - общее решение данного уравнения. Если дано уравнение то, проинтегрировав его последовательно n раз, найдем общее решение уравнения:  

    Линейным  однородным дифференциальным уравнением второго  порядка называется уравнение вида

    коэффициенты  которого   и – непрерывные функции.

    Пусть   и – частные решения уравнения, т.е. не содержат произвольных констант.

    Два решения    и называются линейно независимыми, если можно подобрать постоянные числа и , не равные одновременно нулю, такие, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю, т.е.  

    В противном случае, если таких чисел  подобрать нельзя, решения  и называются линейно независимыми, т.е. если функции и линейно независимые и имеет место тождество , то  
 

    Постоянные  коэфициенты

    Если  y1 и y2 – линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка , то общее решение данного уравнения есть линейная комбинация этих частных решений, т.е. общее решение уравнение имеет вид

    

    Где C1  и C2 – произвольные постоянные. 

    Пусть линейное однородное дифференциальное уравнение 

    имеет постоянные коэффициенты p и q .

    Будем искать частное решение данного  уравнения в виде

    Где k  – постоянное число, которое нужно найти. Дифференцируя получаем

      и .

    Подставляя  и  в уравнение, получим

    или, сокращая на множитель  , который не равен нулю, находим

    которого  определяется число k , называется характеристическим уравнением данного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  
 

    Линейным  неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

    где p и q  – данные постоянные числа и (правая часть уравнения) – известная функция от x .

    Общее решение линейного неоднородного  уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

    и частного решения данного неоднородного  уравнения. 
 
 
 

    Интегрирование

    4.1. Интегрирование ЛОДУ  второго порядка  с постоянными  коэффициентами

    Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

    Пусть дано ЛОДУ второго порядка 

    где р и q постоянны.

    Для нахождения общего решения уравнения (4.1) достаточно найти два его частных  решения.

    Будем искать частные решения уравнения (4.1) в виде

    Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и у" в  уравнение (4.1),получим: 

    Уравнение (4.2) называется характеристическим уравнением ДУ (для его составления достаточно в уравнении (4.1) заменить у", у' и  у соответственно на k2, k1).

    При решении характеристического уравнения (4.2) возможны следующие три случая.