Шпаргалка по "Математике"

1. Вероятность любого события заключена между 0 и 1, т.е.  0 ≤ Р(А) ≤ 1
2. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. Р(ᴓ) = 0
3. Вероятность достоверного события равна единице, т.е. Р(Ω) = 1.
4. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностейэтих событий, т.е. если А*В =ᴓ, то Р (А + В) = Р (А) + Р(В)

 

    Пример: В урне 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что на удачу  вынутый шар будет белым?

    Пусть А – событие, состоящее в том, что вынут белый шар. Ясно что  n = 12+8=20 – число всех возможных случаев. Число благоприят –х событию А, равно12. След-но по формуле Р(А) = 12/20 = 0,6.

    Геометрическое  определение вероятности.

    Геометрической  вероятностью события А называется отношение площади области Dк площади области Ω, т.е. Р(А) = S_D/S_Ω.

    Геометрическое  определение вероятности события  применимо и в случае, когда  области ΩиD обе линейные и объемные.  В первом случае  Р(А) = l_D/l_Ω. Во втором Р(А) = V_D/V_Ω, где l– длина, V – объем соответствующей области.

    Все три формулы можно записать в виде Р(А) = mesD/mesΩ, где mes – мера (S,l,V) области.

    Свойства:

    1.Вероятность  любого события заключена между  0 и 1, т.е.  0 ≤ Р(А) ≤ 1

    2.Вероятность  невозможного события равна 0, т.е. Р(ᴓ) = 0

    3.Вероятность  достоверного события равна единице,  т.е. Р(Ω) = 1.

    4.Вероятность  суммы несовместных событий равна  сумме вероятностейэтих событий,  т.е. если А*В =ᴓ, то Р (А + В) = Р (А) + Р(В) 
 
 

    Свойства  вероятностей

1. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.  Р(ᴓ) = 0
2. Сумма вероятностей противотоложных событий равна единице, т.е. Р(А) +Р(Ā) = 1
3. Вероятность любого события не превосходит единицы, т.е. Р(А) ≤1
4. Если событие А влечет за собой событие В, то Р(А)≤Р(В)
5. Если события А1, А2, ..Ан образуют полную группу несовместных событий ,

 
 

    Условные  вероятности

    Пусть А и В – два события, рассматриваемые  в данном опыте. Наступление одного события (А), может влиять на возможность  наступления другого (В). Для зхарактеристи  зависимости одних  событий от других вводится понятие условной вероятности.

    Условной  вероятностью события В при условии, что произошлособытие  А, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события А, причем Р(А) ≠0, обозначается символом Р(В/А).

    Таким образом по определению Р(В/А)= Р(А*В)÷Р(А), Р(А) ≠0.

    Вероятность Р(В), в отличие от условной, называется безусловной вероятностью.

    Аналогично  определяется вероятность события  А, при условии В, т.е.Р(А/В)

    Р(А/В)=Р(А*В)÷Р(В), Р(В) ≠0.

    Пример: в урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последовательно вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что 2 шар окажется белым при условии, что 1 был черным. Решение:  Пусть А – 1 шар черный, В – 2 белый. Т к событие А произошло, в урне осталось 8 шаров, из которых 2 белых. Поэтому (В/А) = 2/8=1/4.  

    Вероятность произведения событий

    Вероятность произведения 2х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.   Р(А*В) = Р(А) * Р(В/А) = Р(В) * Р(А/В) – правило или теорема умножения вероятностей.

    Правило умножения вероятностей имеет простой вид  если события, образующие произведение, независимы. Событие А называется независимым от события В, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. если выполняется равенство Р(А/В) = Р(А).

    Лемма: Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

    Два события называются независимыми, если появления одного из них не меняет вероятность появления другого. Для независимых событий правило  вероятности имеет вид: Р(А*В) = Р(А) * Р(В), т.е.  вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

    События А₁, А₂,….А_n называются независимыми, если каждое из них не зависит от произведения любого числа остальных событий и от каждого в отдельности. В противном случае события А₁, А₂,….А_n, называются зависимыми. Для независимых событий их условные вероятности равны безусловным, а формула упрощается

    Р(А₁ *А₂….А_n)=Р(А₁)*Р(А₂)*……*Р(А_n)

    Пример: в коробке 4 белых,3 синих, 2 черных шара.  Наудачу послед-но вынимают 3 шара. Какова  вероят-ть что 1й шар будет белым, 2й –синим, 3й- черным. Решение: событие А1 – 1м вытащили белый шар, А2 – 2м вытащили синий шар, 3м вытащили черный шар. Тогда А=А1*А2*А3. По правилу умнож-я вер-й :Р(А) =Р(А1)*Р(А2/А1)*Р(А3/А2*А1) . То Р(А1) = 4/9, Р(А2/А1)=3/8, Р(А3/А2*А1)=2/7. Р(А)= 1/21=0,05. 

    Вероятность суммы событий.

    Вероятность суммы двух совместных событий равна  сумме их вероятностей без вероятности  их произведения, Р(А+В) = Р(А) + Р(В) –  Р(А*В).

    Можно получить формулу вероятности суммы  трех и большего числа совместных событий; для 3х событий она имеет вид: Р(А+В+С) = Р(А) +Р(В)+Р(С) – Р(А*В) –Р(А*С) –Р(В*С) +Р(А*В*С).

    Основные  формулы комбинаторики.

    При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы  комбинаторики – науки, изучающей комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества. Определим основные такие комбинации.

    Перестановки– это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

    Р_п = п!                                                      (1.3)

    Пример. Сколько различных списков (отличающихся порядком фамилий) можно составить  из 7 различных фамилий?

    Решение. Р₇ = 7! = 2·3·4·5·6·7 = 5040.

    Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

                                         (1.4)

    Пример. Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета (первое, второе, третье места), если в соревнованиях принимают участие 10 человек?

    Решение. 

    Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний

                                                                   (1.5)

    Пример. В отборочных соревнованиях принимают  участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов?

    Решение. В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний  из 10 по 3:

      

    Формула полной вероятности

    Пусть события Н1, Н2,….Н_n образуют полную группу. Тогда для любого события А имеет место формула полной вероятности или средней вероятности.

    

    Пример. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных, в третьей – 10 черных шаров. Из случайно выбран-ной урны наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.

    Решение. Будем считать гипотезами Н₁, Н₂ и Н₃ выбор урны с соответствующим номером. Так как по условию задачи все гипотезы равновозможны, то Найдем условную вероятность А при реализации каждой гипотезы:

      Тогда   

    Формула Байеса

    Она позволяет переоценить вероятность  гипотез Н_i , принятых до опыта и называемых априорными, по результатам уже проведенного опыта, т.е. найти условные вероятности Р(Н_i/А), которые называются апостериорными.

    Теорема: Пусть события Н1, Н2,…Н_nобразуют полную группу событий. Тогда условная вероятность события Н_k (k=l,n- по модулю) при условии, что событие А произошло, задается формулой

    

    Где - формула полной вероятности. 

    Пример. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

    Решение. Пусть событиеА – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: Н₁ – первый попал, а второй промахнулся, Н₂ – первый промахнулся, а второй попал, Н₃ – оба попали, Н₄ – оба промахнулись. Вероятности гипотез: р(Н₁) = 0,6·0,3 = 0,18, р(Н₂) = 0,4·0,7 = 0,28, р(Н₃) = 0,6·0,7 = 0,42,   р(Н₄) = 0,4·0,3 = 0,12.Тогда    р(А/Н₁) = р(А/Н₂) = 1,                    р(А/Н₃) = р(А/Н₄) = 0. Следовательно, полная вероятность р(А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0 = 0,46. Применяя формулу Байеса, получим:

      

    Формула Бернулли

    Теорема: Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а вероятность его непоявления равна q = 1 –p, то вероятность того, что событие А произойдет mраз определяется формулой.P_n(m) = C^m_n * p^m * q^n-m , m = 0, 1,2….n.

    Пример: Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны р = 0,9. Какова вероятность: а) промаха, б) одного попадания, в) 2х попаданий, г) трех попаданий? Если вероятности попадания при разных случаях различны: р1 = 0,7, р2 = 0,8, р3 = 0,9

    В данном случае n = 3, p = 0.9, q = 0.1

    А) Р(0) = С⁰₃× 0,9⁰ × 0,1³ = 0,001 – вероятность 3х промахов

    Б) Р (1) = С¹₃ × 0,9¹ × 0,1² = 0,027 - вероятность одного попадания

    В) Р (2) = С²₃ × 0,9² × 0,1¹ = 0,243 -  вероятность 2х попаданий

    Г) Р (3) =  С³₃ × 0,9³ × 0,1⁰ = 0,729 – вероятность 3х попаданий 
 

    Предельные  теоремы в схеме  Бернулли

    Использование формулы Бернулли при больших  значениях nи mвызывает большие трудности, так как оно связано с громоздкими вычислениями. Вычисление Р_n (m) вызывает затруднения также при малых значениях р (q).

    Теоремма  Пуассона .

    Если  число испытыний неограничено увеличиваетя (n – 0) и вероятность р наступления события А в каждом испытании неограниченно уменьшается ( р – 0), но так, что их произведение np является постоянной величиной (np = a = const), то вероятность Р_n (m) удовлетворяет предельному равенству limP_n(m) = a^me^-a/m! (n→∞).

    Пример: Завод отправил 1500 бутылок. Вероятность того что бутылка в пути может разбиться равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет разбито не более 4х бутылок - Р(А).

    Искомая вероятность равна   Р₁₅₀₀ (0)+Р₁₅₀₀ (1) + Р₁₅₀₀ (2)+ Р₁₅₀₀ (3)+Р₁₅₀₀ (4)

    Так как n = 1500, p = 0,002, то а = (np) = 3

    Р(А) = 3⁰ * е^-3 /0! +3¹ * е^-3 /1! +3² * е^-3 /2!+ 3³ * е^-3 /3! +3⁴ * е^-3 /4! = 0,815.

    Формулу пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

    Потоком событий называют последовательность событий, наступающих в случайные  моменты времени (поток посетителей в парикхмахерской, поток вызовов, поток отказов элементов).