Шпаргалка по "Математике"

    Случай 1. Корни k1 и k2 уравнения (4.2) действительные и различные:

    

    общее решение уравнения (4.1), имеет вид 

    Случай 2. Корни k1 и k2 характеристического уравнения (4.2) действительные и равные:

    

    В этом случае имеем лишь одно частное  решение y1=ek1x. Покажем, что наряду с  у1 решением уравнения (4.1) будет и  у2=хеk1x. Действительно, подставим функцию  у2 в уравнение (4.1). Имеем:

      

    Но k12+pk1+q=0, т. к. k1 есть корень уравнения (4.2); р+2k1=0, т. к. по условию

    Поэтому y''2+Py'2+qy2=0, т. е. функция у2=хеk1x является решением уравнения (4.1).

    Частные решения  образуют фундаментальную систему решений: W(x)=e2k1x≠0. Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (4.1) имеет вид

    Случай3. Корни k1 и k2 уравнения (4.2) комплексные

    В этом случае частными решениями уравнения (4.1) являются функции

    имеем

      
 

    Найдем  два действительных частных решения  уравнения (4.1). Для этого составим две линейные комбинации решений y1 и у2:

    

    Функции являются решениями уравнения (4.1).Поэтому общее решение уравнения (4.1) запишется в виде или

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Интегрирование  ЛНДУ второго порядка  с постоянными  коэффициентами и  правой частью специального вида

    Рассмотрим  ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами,

    

    где р и q - некоторые числа.

    Для уравнений с постоянными коэффициентами существует способ нахождения у*, если правая часть ƒ(х) уравнения имеет  так называемый «специальный вид»:

    I. или

    II.

    Случай 1. Правая часть (5.10) имеет вид где а є R, Р_n(х) - многочлен степени n. Уравнение (5.10) запишется в виде

    

    В этом случае частное решение у* ищем в виде:

    

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    где r - число, равное кратности а как  корня характеристического уравнения  (т.е. r - число, показывающее, сколько раз а является корнем уравнения

    - многочлен  степени n, записанный с неопределенными  коэффициентами А_i (i=l,2,...,n). 

    а) Пусть а не является корнем характеристического  уравнения  т. е. Следовательно, 

    

    После подстановки функции у* и ее производных в уравнение (5.11), сокращения на , получим:

    

    Слева - многочлен степени n с неопределенными  коэффициентами, справа - многочлен  степени n, но с известными  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему (n+1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов А_о, А₁,..., А_n.

    б) Пусть а является однократным (простым) корнем характеристического уравнения 

    В этом случае искать решение в форме нельзя, т. к. и уравнение (5.13) принимает вид

     В левой части - многочлен степени (n-1), в правой части - многочлен степени n. Чтобы получить тождество многочленов в решении у*, нужно иметь многочлен степени (n+1). Поэтому частное решение у* следует искать в виде (в равенстве (5.12) положить r=1).

    в) Пусть а является двукратным корнем характеристического уравнения k²+рк+q=0, т. е. а=k₁=k₂. В этом случае а²+ра+q=0 и 2а+р=0, а поэтомy уравнение (5.13) принимает вид

    Слева стоит многочлен степени n-2. Понятно, чтобы иметь слева многочлен  степени n, частное решение у* следует искать в виде

    

    (в  равенстве (5.12) положить r=2).

    Случай 2. Правая часть (5.10) имеет вид

    

    где Р_n(х) и Q_m(x) - многочлены степени n и m соответственно, а и β - действительные числа. Уравнение (5.10) запишется в виде

    

    Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения (5.14) следует искать в виде

    

    где r - число, равное кратности а+βi как  корня характеристического уравнения  - многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, l - наивысшая степень многочленов Р_n(х) и

    Замечания.

    1. После подстановки функции (5.15) в (5.14) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.

    2. Форма (5.15) сохраняется и в случаях,  когда

    3. Если правая часть уравнения  (5.10) есть сумма функций вида I или II, то для нахождения у* следует использовать теорему 5.2 о наложении решений.

    Пример 5.2. Найти общее решение уравнения

    Решение: Найдем общее решение ЛОДУ Характеристическое уравнение k²-2k+1=0 имеет корень k₁=1 кратнoсти 2. Значит, Находим частное решение исходного уравнения. В нем правая часть есть формула вида  причем а=0, не является корнем характеристического уравнения: . Поэтому, согласно формуле (5.12), частное решение у* ищем в виде   - неопределенные коэффициенты. Тогда Подставив в исходноеуравнение, получим Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

    Отсюда  А=1, В=-2. Поэтому частное решение  данного уравнения имеет вид  у* =х-2. Следовательно, искомое общее решение уравнения. 
 

 

     

    Элементы теории вероятности 

    Случайные события и их классификация.

    Если  некоторый производится опыт,  исход  которогго предсказать заранее  нельзя, то такие эксперементы называются случайными. При этом рассматриваются  только те эксперементы, которые можно  повторять  многократно при одних и тех же условиях.

    Случайным событием называется любой исход  опыта, который может произойти  или не произойти.

    События как правило обозначаются заглавными буквами А, В, С..

    Пример, бросоние игральной кости:

    А – выпадение  5 очков

    В -  выпадение четного числа  очков

    С – 7 очков

    D– выпадение целого числа очков

    Е – неменее 3х очков 

    Непосредственные  исходы опыта называются элементарными  событиями и обозначаются W.

    Все возможные исходы называются пространством  элементарных событий.  И обозначаются Λ.

• Сбытие называется  достоверным, если оно обязательно наступит в результате опыта. (D)
• Событие называется невозможным,  если он зав6едомо не произойдет в результате проведения опыта. (С)
• 2 события называются несовместными, если появление одного из них исключает появлене другого события в одном и том же опыте. (А и В)
• В противном случае, если событие дополняет появление другого, то они будут совместными. (В и Е); (D и Е); (А и Е).
• Полную группу случайных событий образуют все возможные, попарно-несовместные события для данного опыта.  События  А1, А2…, Ан, называются попарно-несовместимыми если любые дщва из них несовместимы.

 
 

    Действия  над событиями.

      Завтра будет дождливое (В)  утро (А).

1. Суммой  событий А и В называется событие С, С = А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них ( или А, или В, или А и В вместе).  Дождя нет
2. Произведением событий А и В называется событие С, С = А*В, состоящее в совместном наступлении этих событий ( и А и В одновременно). Дождь есть
3. Разностью  событий А и В называется событие С, С= А –В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А , но не происходит событие В.  Нет дождя
4. Противоположным событию А  называется событие не наступление события  Ā.  А →Ā

    Операции  над событиями обладают следующими свойствами:

• А+В=В+А; А*В=В*А (переместительное)
• (А+В)*С=А*С+В*С;  А*В+С=(А+С)*(В+С) (распеределительное)
• (А+В) +С = А+ (В +С); (А*В)*С =А*(В*С) (сочетательное)
• А+А=А; А*А=А
• А-В=А*Ḃ
• Ā +Ḃ =Ā *Ḃ и Ā *Ḃ = Ā +Ḃ

 
 
 

    Алгебра событий.

    Множество Ω = { w } всех вохможных взаимоисключающих исходов данного опыта называется пространством элементарных событий, а сами исходы w – элементарными событиями.

    Случайным событием А называется любое подмножество множества Ω, если Ω конечно или  счетно: А принадлежит Ω. Элементарные события, входящие в подмножество А пространства Ω, называются благоприятствующими событию А. Множество Ω называется достоверным событием. Ему благоприятствует любое элементарное событие, в результате опыта оно обязательно произойдет. Пустое множество ø называется невозможным событием, в результате опыта оно произойти не может.

    Над событиями можно производить  все операции, выполняемые для  множеств.

    Сумма (или объединение) двух событий А+В  - это множество, которое содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из событий А и В.

    Произведение  двух событий А*В  - это множество, которое содержит элементы, принадлежащие  хотя бы одному из событий А и  В.

    Разность  событий А – В -  это множество, которое содержит элементы события  А, не принадлежащие событию В.

    Противоположное событию А принадлежит Ω событие  Ā = Ω\А.

    Событие А влечет событие В, если каждый элемент  события А содержится в В. 

    Статистическое  определение вероятности.

    Статистической  вероятностью события А называется число, около которого колеблется относительная  частота события А при достаточно ьольшом числе испытаний (опытов).

    Вероятность события А обозначается символом Р(А). Согласно данному определению  Р(А)≈ Р*(А) = n_A/n, где n_A – число наступления событий в данном испытании, n– общее кол-во испытаний.

    Свойства:

    1.Вероятность  любого события заключена между  0 и 1, т.е.  0 ≤ Р(А) ≤ 1

    2.Вероятность  невозможного события равна 0, т.е. Р(ᴓ) = 0

    3.Вероятность  достоверного события равна единице, т.е. Р(Ω) = 1.

    4.Вероятность  суммы несовместных событий равна  сумме вероятностейэтих событий,  т.е. если А*В =ᴓ, то Р (А + В) = Р (А) + Р(В) 

    Классическое  определение вероятности.

    Пусть проводится опыт с nисходами, которые можно представить в видепоолной группы несовместных равновозможных событий. Такие исходы называются случаями, шансами, элементарными событиями, опыт – классическим. Случай w, который приводит к наступлению события А, называется благоприятным (или – благоприятствующим) ему, т.е. случай w влечет за собой событие А.

    Вероятностью  события А называется отношение  числа mслучаев, благоприятсвующих этому событию, к общему числу n случаев, т.е. Р(А) = m/n, где m–кол-во случаев благоприятствующих этому событию,  n –кол-во всех событий.

    Свойства: