Прикладная математика

 

     Расчеты: 

При m_p=3:   

 При   m_p=4:  

При  m_p=5  
 

При m_p=6  
 

При m_p=7  

При m_p=

Строим  график  зависимости  ожидаемого  дохода  от  риска:

6.   Матричная игра как модель конкуренции

  и сотрудничества 

     Теория  игр: совокупность математических методов, анализа и оценки поведения в конфликтных ситуациях, когда сталкиваются интересы двух или более сторон, преследующие различные, иногда противоположные цели. Противоречащие друг другу интересы наблюдаются в области экономики, военном деле, спорте, иногда противоречат интересы различных ступеней иерархии в СУ. Теория игр представляет собой математическую теорию конфликтных ситуаций. Ее цель-выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта.  

     Постановка  задачи:

     Рассмотрим  матричную игру двух лиц с нулевой суммой.

     Задана  матрица:

     

     Участвуют 2 игрока. 1-ый выбирает номер строки, а 2-ой независимо от 1-го выбирает номер столбца. Если 1-ый загадал 2-ую строку, а второй – 2-ой столбец, то выигрыш второго составляет 8 рублей.

     Вначале  проведем  анализ  на  доминирование.  Так  как  строки  выбирает  первый  игрок,  то  мы  исключаем  из  платежной  матрицы  доминируемые  строки. Первая  строка  доминирует  третью. В результате  исключения  третьей  строки  получаем:

     

     Первый  и  четвертый   столбец  равнозначны.  Исключаем  четвертый,  у  нас  получается  платежная  матрица,  которую   упростить  уже  невозможно:

     

     Далее  проведем  анализ  игры  на  седловую  точку.  Найдем минимумы  по строкам    и максимумы по  столбцам  :

     

          
 
 
 
 
 

     Нижняя  цена  игры  будет  равна:   верхняя  цена  игры  равна: .

     Поскольку , то  решения игры  в чистых  стратегиях  нет.  Будем искать  решение в смешанных стратегиях.  Чтобы сделать все элементы  платежной матрицы положительными, прибавим  к каждому ее элементу  константу,  равную 10,   при этом  решение игры  не  изменится,  а цена  игры  возрастет  на  10 и  будет  больше  нуля. Матрица игры  примет  следующий  вид:

     

     Решение  игры  сводится   к  нахождению   решения  симметричной  пары  взаимно  двойственных  задач  линейного  программирования.  Пусть  - стратегии игроков.  Найдем  сначала .

     Проигрыш  Второго  игрока  будет  не  больше,  чем  цена  игры :

        

     Разделим  каждое  из  неравенств на и введем  обозначения , получим:

     

     Поскольку ,  то  переменные  x₁,  x₂,  x₃, x₄   удовлетворяют  условию:

      , но v   есть  проигрыш  второго игрока,  который он  стремится сделать минимальным.  Следовательно,  величина   должна  быть  максимальна.  Таким образом,  имеем следующую задачу  линейного  программирования:

     Найти  вектор ,  который обеспечивает  максимум  целевой функции ,  при следующих линейных  ограничениях:

           

     Решение:

     Найдем  ее  оптимальное  решение   симплексным  методом.

     Итак,  ,  при

          

     Сначала  приведем  эту  задачу  к  основной  задаче  линейного  программирования: 

     Превратим неравенства  в  равенства,  ля  этого добавим к каждому   неравенству дополнительные  неотрицательные неизвестные x₅,  x₆, x₇.  Вспомогательная  задача   будет  иметь  вид:  

      ,  при ограничениях:

          

            

     

     Откуда: ;

      

     Составляем  симплексную  таблицу: 

 
 

      ;

     Вернемся  теперь к  решению  основной  задачи,  в  целевую  функцию  входят  решения:

     

     

 
 

      , тогда   ;

     Цена  игры  равна  ; 

     

     Найдем  теперь  оптимальную  стратегию  P^* первого  игрока.  Выигрыш первого игрока  будет не  меньше,  чем цена  игры:

       

     Разделим  каждое  из  этих  неравенств  на    и введем  обозначения  .  Получим:

                      

     Поскольку ,  то 

     Но  есть  выигрыш Первого игрока,   который   стремиться  его  максимизировать.  Следовательно,   величина    должна   быть  минимальна.  Таким образом,  имеем следующую  задачу  линейного программирования:

       Найти  вектор  ,  который  обеспечивает   минимум  целевой  функции  ,  при следующих ограничениях:

                      

     Эта  задача  является  двойственной  по  отношению  к  рассмотренной  выше  задаче.

 

;  ;

           ;   

     Т.к. x₁,  x₂, x₃ отличны  от  нуля:

; 

,  а  цена  игры  по-прежнему  равна ;

;

     Теперь  возвращаемся  к  исходной  матрице  игры  .  Решение игры  принимает вид:

;  ;    ; 

 

     Найдем  риск  игры  при  использовании  игроками  своих  оптимальных  стратегий:

      ;

     А  также  риск  при  использовании  одним  из   игроков  своей  чистой,  а другим – своей  оптимальной  стратегии  (нижний  индекс – Первого  игрока,  верхний – Второго):