Прикладная математика

     Федеральное агентство  по образованию

     Государственное  образовательное  учреждение  высшего  профессионального  образования 
 

     ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ  УПРАВЛЕНИЯ

       
 
 
 

     Кафедра прикладной математики 
 
 

     КУРСОВАЯ  РАБОТА

     по  дисциплине "Прикладная математика" 
 
 
 
 

     Выполнила:                            

     Институт:                             ИУХМП

     Специальность:                     Менеджмент  организации

     Отделение (д/о, в/о):             дневное отделение

     Курс:                                       II

     Группа:                                   М/О II-1

     Руководитель:                      Чистяков В.С.

     Дата  сдачи на проверку :     ...………………………..

     Дата  защиты:                       .........................................

     Оценка:                                  .........................................

       Подпись руководителя:       .......................................... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Москва  - 2006

     Содержание 

1. Цели  и  задачи  курсового  проекта…………………………………. ...3
2. Линейная  производственная  задача………………………………… ..3
3. Двойственная  задача…………………………………………………… 6
4. Транспортная  задача  линейного  программирования……………….12
5. Динамическое  программирование.  Распределение капитальных  вложений…………………………………………………………………19
6. Задача  формирования  оптимального  портфеля  ценных  бумаг……22
7. Матричная  игра  как  модель   конкуренции  и  сотрудничества… …27
8. Анализ  доходности  и  риска  финансовых  операций…………… ….33
9. Принятие  решений  в   условиях  неопределенности………………. ..35

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     ЦЕЛИ  И ЗАДАЧИ КУРСОВОГО ПРОЕКТА 

     Выполнение  курсового  проекта по прикладной математике направлено на усиление связи  обучения студентов с практикой  совершенствования управления, организации  современного производства, всего механизма  хозяйствования.

     В процессе работы над курсовым проектом студент не только закрепляет и углубляет теоретические знания, полученные на лекциях и на практических занятиях, но и учится применять методы исследования операций при постановке и решении конкретных экономических задач.

     Цель  курсового проекта - подготовить студента к самостоятельному проведению операционного исследования, основными этапами которого являются построение математической модели, решение управленческой задачи при помощи модели и анализ полученных результатов. 

1. Линейная производственная задача 

     Задание:

     Сформулировать  линейную производственную задачу и  составить ее математическую модель, где заданы  технологическая матрица А затрат различных ресурсов на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С при возможном выпуске четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов

     Преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать ²узкие места² производства.

     В последней симплексной таблице  указать обращенный базис Q^-1, соответствующий оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение соотношения

H = Q^-1B 

     Если  по оптимальной производственной программе какие-то два вида продукции не должны выпускаться, то в таблице исходных данных вычеркнуть соответствующие два столбца, составить математическую модель задачи оптимизации производственной программы с двумя оставшимися переменными, сохранив прежнюю нумерацию переменных и решить графически. 

   Постановка  задачи:

   Компания «Малыш» выпускает четыре  вида  детского  питания,  используя для этого сухое молоко, сою   и фруктовое пюре.  Известна  технологическая матрица А  затрат  любого  вида  ресурса   на  единицу каждого вида  питания,  вектор  В  объемов   имеющихся   ресурсов  и вектор С    стоимости каждого вида  питания. 

                                  2     3     0     4             148

                      A =     4     1     5     0     B=   116      C=(30  25  14  12)

                                 0     2     4     3              90   

     Примем  следующие  обозначения:   а_{i j} – расход i-ого ресурса на единицу j-го вида  питания; b_i – запас i-ого ресурса; с_j – прибыль на единицу j-го вида  питания; x_j – количество выпускаемого  питания  j-ого вида.

     На  производство  x₁  питания  1-го вида

                                     x₂  питания  2-го вида

                                     x₃  питания  3-го вида

                                     x₄  питания  4-го вида  компания  затратит следующее  количество  ресурсов:

                                                                   (1)

     Требуется найти производственную программу  X^* = (x₁, x₂, x₃, x₄),  реализация  которой  обеспечит  компании  получение  наибольшей  прибыли:

      ,

при  линейных  ограничениях  неравенства (1). 

     Решение:

     Приведем  задачу  к  основной  задаче  линейного  программирования.  Для  этого  добавим  в  левую  часть системы ограничений (1)  дополнительные  неотрицательные неизвестные x₅, x₆, x₇, которые   по  физическому смыслу  будут представлять  собой:

     x₅ – остаток  ресурса  1-го  вида,

     x₆ – остаток  ресурса  2-го  вида,

     x₇ – остаток  ресурса  3-го  вида.

     

     Строим  симплексную  таблицу.

     В качестве базисных неизвестных могут  быть приняты неизвестные х₅, х₆, х₇ , так как каждый из них входит только в одно уравнение системы и не входит в другие уравнения. Приравняв к нулю свободные переменные х₁, х₂, х₃, х₄ , получаем базисное неотрицательное решение:

     х₁=0, х₂=0, х₃=0, х₄=0, х₅=148, х₆=116, х₇=90

     

     Из  уравнения  целевой  функции видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию 1-ого вида, так как прибыль здесь будет наибольшая.

     Выясним, до каких пор наши ресурсы позволяют  увеличить выпуск этой продукции:

     Так как, в целевой функции нет  базисных переменных, то можно её  представить в виде:

   0 – Z = -30x₁-25x₂-14x₃-12x₄

 
 

   x₁=20, x₂=36, x₃=0, x₄=0, x₅=0, x₆=0, x₇=18  определяют производственную программу x₁=20, x₂=36, x₃=0, x₄=0

   Прибыль  будет  наибольшей  когда    ,  при этом

   остатки ресурсов: 1-ого вида x₅=0

                                   2-ого вида  x₆=0

                                   3-ого вида  x₇=18

   

   Также надо обратить внимание на экономический  смысл элементов последней строки последней симплексной таблицы. Коэффициенты ∆₃ =6 при переменной Х₃, ∆₄ =16 при переменной Х₄ показывают, что если произвести одну единицу продукции 3-ого или 4-ого видов, то прибыль уменьшится на 6 или 16 единиц  соответственно.

     Проверим  выполнение соотношения H=Q^-1B:

      ;  ;  ;

     

     Равенство  выполняется. 

     Итак,    по оптимальной  производственной  программе  у  нас  получилось,  что  третий  и  четвертый  вид  детского  питания  не  должны  выпускаться. В  таблице  исходных  данных  вычеркнем  соответствующие  два  столбца  и  составим математическую модель задачи оптимизации производственной программы с двумя оставшимися переменными, сохранив прежнюю нумерацию переменных и решим  эту задачу  графически.

      

   ;  ; 

Математическая  модель будет выглядеть так:

    - ?

   Z = 30x₁ + 25x₂→ max 

        

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

  2.  Двойственная задача

     Задание:

     Сформулировать  задачу, двойственную линейной производственной задаче, как задачу определения расчетных оценок ресурсов, и найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности.  Указать оценку единицы каждого ресурса, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценки технологий.