Прикладная математика

     Применить найденные двойственные оценки ресурсов к решению следующей задачи.

     Сформулировать  задачу о "расшивке узких мест производства" и составить математическую модель. Определить область устойчивости двойственных оценок, где сохраняется структура программы производства. Решить задачу о ²расшивке узких мест производства² при условии, что дополнительно можно получить от поставщиков не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида (если задача окажется с двумя переменными, то только графически); найти план приобретения дополнительных объемов ресурсов, дополнительную возможную прибыль,  составить сводку результатов. 

     Постановка  задачи:

     Ранее мы рассмотрели конкретную линейную производственную задачу по выпуску четырех видов детского  питания  с использованием трех видов ресурсов Технологическая  матрица  А  затрат  любого  вида  ресурса   на  единицу каждого вида  питания была  известна. 

     Теперь  представим себе, что возникла новая ситуация. предприниматель П. (Петров), занимающийся производством каких-то других видов продукции, но с использованием трех таких же видов ресурсов, какие имеются у компании  «Малыш», предлагает ей "уступить" по определенным ценам все имеющиеся у  «Малыша» ресурсы и обещает платить у₁ рублей за каждую единицу первого ресурса, у₂ руб. – второго, у₃ руб. – третьего. Возникает вопрос: при каких ценах у₁, у₂, у₃ компания  «Малыш» может согласиться с предложением П.

     Величины  у₁, у₂, у₃ это двойственные оценки ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует компания  «Малыш».

     В нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имели вид: 

                                  2     3     0     4             148

                      A =     4     1     5     0     B=   116      C=(30  25  14  12)

                                 0     2     4     3              90 

     Для производства единицы первого вида питания компания должна затратить, как видно из матрицы А, 2 единицы ресурса первого вида и 4 единицы ресурса второго вида (элементы первого столбца матрицы). В ценах у₁, у₂, у₃ затраты   компании  составят 2у₁ + 4у₂  руб., т.е. столько заплатит предприниматель П. за все ресурсы, идущие на производство единицы первой продукции. На рынке за единицу первого  вида  питания  компания  получила  бы прибыль 30 руб. Следовательно, компания  «Малыш»  может согласиться с предложением П. только в том случае, если он заплатит не меньше  30  руб.:

     2у₁ + 4у₂ ³ 30

     Аналогично, во втором столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы детского  питания второго вида. В ценах П. эти затраты составят 3у₁ + 1у₂ + 2у₃, а на рынке за единицу питания  второго вида «Малыш» получил  бы прибыль 25 рублей. Поэтому перед предпринимателем П нужно  поставить  условие:

     3у₁ + 1у₂ +  2у₃³ 25  и т.д.

     За  все,  имеющиеся  у  «Малыша»  ресурсы  П.  должен  заплатить:

     148у₁ + 116у₂ + 90у₃ рублей

       При поставленных «Малышом» условиях предприниматель П. будет искать такие значения величин у₁, у₂, у₃, чтобы эта сумма была как можно меньше. Подчеркнем, что здесь речь идет не о ценах,  по которым компания когда-то приобретала эти ресурсы, а о ценах, которые существенно зависят от применяемых «Малышом» технологий, объемов ресурсов и от ситуации на рынке.

     Таким образом, проблема определения расчетных  оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок  У^*(у₁, y₂, y₃), минимизирующий общую оценку всех ресурсов:

      _,                                                                                (1)

при условии, что по каждому виду детского питания суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы детского  питания, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой вида  питания: 

                                                                                   (2) 

     Решение:

     Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы    двойственности. 

 

     Согласно  второй  основной теореме  двойственности     для     оптимальных решений   X^*=(х₁, х₂, х₃, х₄)    и   Y^*=(y₁, y₂, y₃) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий:

     

     При  решении прямой  задачи  было  получено,  что x₁ >0_, x₂ >0. Поэтому:

       

     Если  же учесть, что третий ресурс был  избыточным и, согласно той же теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю т.е. y₃=0, то приходим к системе уравнений:

      ,  откуда следует      

     Решение  двойственной  задачи  Y^*=(7, 4, 0)

     Тогда   общая оценка всех ресурсов равна

                            (3)

     Заметим, что решение (3) содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Важен экономический смысл двойственных оценок. Например, двойственная оценка второго ресурса у₂=4 показывает, что добавление одной единицы второго ресурса обеспечит прирост прибыли в 4 единицы.  

     Задача  о "расшивке узких мест производства" 

     Постановка   задачи:

     Продолжаем  рассмотрение  задачи  планирования  производства. При выполнении оптимальной производственной программы первый и второй ресурсы используются полностью, т.е. образуют «узкие места производства»  x₅=0, x₆=0. Будем «расшивать  узкие  места  производства» т.е.   заказывать  дополнительно  дефицитные  ресурсы.   Обозначим  через  t₁ и t₂ искомое  дополнительное  количество  единиц  первого  и  второго  вида  ресурсов. T(t₁, t₂, 0)- вектор дополнительных объемов ресурсов. Согласно  третьей основной  теореме двойственности,  увеличение  первого  вида  ресурса  на  единицу  обеспечивает  прирост прибыли,  равный  двойственной  оценке  y₁=7,   второго вида – y₂=4.

     При  этом,  для сохранения  структуры плана производства  величины  t₁, t₂, t₃  должны  изменяться  лишь  в  области  устойчивости  двойственных  оценок, т.е.  должно выполняться условие:

     H + Q^-1T 0,  причем,  по  смыслу  задачи  t₁ >0, t₂ >0.                (1)

     Таким  образом, проблема  «расшивки узких   мест  производства»  представляет  собой  задачу  линейного  программирования:   найти   план  расшивки -  вектор  T (t₁, t₂, 0), максимизирующий суммарный прирост прибыли:

            ,                                                       (2)

при условии  сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы).

     Обращенный  базис  был  найден  при  решении  задачи  симплексным  методом:

     

     Условия  (1)  запишутся  в  виде:

                                                               (3)

     Предположим  также,  что поставщики сырья могут выделить  компании  не  более 1/3   первоначального объема  ресурса каждого вида:

                                                                                           (4)

     Перепишем неравенства  (3)  и  (4)  в  виде: 

                                                                                       (5) 

     Задача  оптимизации  плана  «расшивки  узких  мест»  производства  принимает  вид:  найти  переменные t₁ и t₂, которые обеспечивают максимум  линейной  форме:

      ,  при   ограничениях  (5). 

     Решение:

     Сформулированная   задача  линейного  программирования  с двумя переменными может быть  решена  графически.

                    

          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Строим  график  и  ищем  точки  пересечения: 
 
 

 

      ,  откуда  оптимальный план  «расшивки»:

     

При  этом   прирост  прибыли  составит: W = 7t₁ + 4t₂ = 447 ½ .

 Сводка  результатов приведена  в таблице: 

 

   3.  Транспортная задача линейного программирования 

     Задание:

     Составить математическую модель транспортной задачи по исходным данным:

      ;   ; 

     Если  полученная модель окажется открытой, то свести ее к замкнутой и найти оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов.