Однородные и неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений

 

Решая её, находим 

                          

Где P₁, P₂ – произвольные постоянные. Таким образом, общее решение системы имеет вид

 

  

 Пример 2.  

Решение. Составим характеристическое уравнение системы  

 
 

Раскрывая определитель, получаем

Данное уравнение  после несложных преобразовании принимает вид

 

Отсюда находим: (простой корень), ему соответствует собственный вектор

 

 и  (корень кратности 2), которому соответствуют два линейно независимых собственных вектора 

    

Следовательно, общее решение системы имеет  вид

 
 
 
 

2.3. решение неоднородных линейных  систем дифференциальных уравнений.  

2.3.1. Решение методом  вариации постоянных. 

Пример 1.  

 Решение. Решая характеристическое уравнение

Находим корни  . Собственными векторами, отвечающими найденным собственным значениям, будут соответственно 

,  

Следовательно, общее решение соответствующей  однородной системы имеет вид 

 

Решение неоднородного  уравнения в соответствии с методом  вариации постоянной будем искать в  форме  

 

Для нахождения С₁(x) и С₂(x) подставив выражение для Y в исходную систему, получим 

 

Отсюда находим:  

 

 

Где -  произвольные постоянные. Таким образом, решение исходной системы будет 

2.3.2. Решение методом неопределенных коэффициентов 

Пример 1.    

Решение. Решая характеристическое уравнение системы

Находим корни  . Собственными векторами, отвечающими найденным собственным значениям, будут соответственно 

,   

Следовательно, общее решение соответствующей  однородной системы имеет вид

Теперь найдем частное решение. В рассматриваемом случае элементы столбца свободных членов представляют собой многочлены степени, не превышающей 1, и так как число γ=0 не совпадает с корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородной системы будем искать в виде  

 

Где p, q, c и d – некоторые постоянные. Для их определения подставим выражение для в исходную систему. Получим 

  

Отсюда

 

Решив эту систему, находим p=1, q= - 1, c= - 2  и d=1. Следовательно, 

Так как общее  решение неоднородной системы уравнения  Y представляет собой сумму частного решения и общего решения соответствующей однородной системы, то окончательно получаем  

 

Пример 2.    

Решение.  Решая характеристическое уравнение системы

Его корни будут  . Им соответствуют собственные векторы  

,

Следовательно, общее решение соответствующей  однородной системы имеет вид  

Теперь найдем частное решение. В рассматриваемом  случае число γ= 1 совпадает с корнем λ₁ характеристического уравнения (резонансный случай). Так как элементы столбца свободных членов представляют собой многочлены нулевой степени, частное решение неоднородной системы будем искать в виде

 

где p, q, c и d – некоторые постоянные. Подставим выражение для  в исходную систему. Получим 

 

Отсюда 

 

Решив эту систему, находим   

 

Полагая с =1, получаем d = 5. Следовательно, 

 

Таким образом, общее решение системы имеет вид 

 
 
 
 
 
 

  

  
 

          

Список  используемой литературы 

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Выцсшая математика в упражнениях и задачах. –М.: “Высшая школа”, 1986.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М.:”Наука”, 1978.
3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г.  Математика в экономике.- М.:”Финансы и статистика”, 2003.