Вывод уравнения колебаний неоднородного стержня

Содержание

 

ВВЕДЕНИЕ 1 Вывод уравнения колебаний  неоднородного стержня 2 Метод Бубнова-Галеркина 3 Метод конечных разностей

4 9 11 14

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Математическая физика тесно связана с физикой в той части, которая касается построения математической модели, и в то же время - раздел математики, поскольку методы исследования моделей являются математическими. В понятие методов математической физики включаются те математические методы, которые применяются для построения и изучения математических моделей, описывающих большие классы физических явлений. 

Методы математической физики как теории математических моделей физики начали интенсивно разрабатываться в трудах И. Ньютона по созданию основ классической механики, всемирного тяготения, теории света. Дальнейшее развитие методов математической физики и их успешное применение к изучению математических моделей огромного круга различных физических явлений связаны с именами Ж. Лагранжа, Л.Эйлера, П. Лапласа, Ж. Фурье, К. Гаусса, Б. Римана, М. В.Остроградского и многих других учёных. Большой вклад в развитие методов математической физики внесли А. М.Ляпунов и В. А. Стеклов. Начиная со 2-й половины 19 века, методы математической физики успешно применялись для изучения математических моделей физических явлений, связанных с различными физическими полями и волновыми функциями в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро- и аэродинамике и ряде других направлений исследования физических явлений в сплошных средах. Математические модели этого класса явлений наиболее часто описываются при помощи дифференциальных уравнений с частными производными, получивших название уравнений математической физики.

Помимо дифференциальных уравнений математической физики, при описании математических моделей физики применение находят интегральные уравнения и интегро-дифференциальные уравнения, вариационные и теоретико-вероятностные методы, теория потенциала, методы теории функций комплексного переменного и ряд других разделов математики. 

 Постановка задач математической физики заключается в построении математических моделей, описывающих основные закономерности изучаемого класса физических явлений. Такая постановка состоит в выводе уравнений (дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных или алгебраических), которым удовлетворяют величины, характеризующие физический процесс. При этом исходят из основных физических законов, учитывающих только наиболее существенные черты явления, отвлекаясь от ряда его второстепенных характеристик. Такими законами являются обычно законы сохранения, например, количества движения, энергии, числа частиц и т. д. Это приводит к тому, что для описания процессов различной физической природы, но имеющих общие характерные черты, оказываются применимыми одни и те же математические модели. Например, математические задачи для простейшего уравнения гиперболического типа

 

полученного первоначально (Ж. Д’Аламбер, 1747 г.) для описания свободных колебаний однородной струны, оказываются применимыми и для описания широкого круга волновых процессов акустики, гидродинамики, электродинамики и других областей физики.

Для математической физики характерно также то, что многие общие методы, используемые для решения задач математической физики, развились из частных способов решения конкретных физических задач и в своём первоначальном виде не имели строгого математического обоснования и достаточной завершённости. Это относится к таким известным методам решения задач математической физики, как методы Ритца и Галеркина, к методам теории возмущении, преобразований Фурье и многим другим, включая метод разделения переменных. Эффективное применение всех этих методов для решения конкретных задач является одной из причин для их строгого математического обоснования и обобщения, приводящего в ряде случаев к возникновению новых математических направлений.

Для математической физики характерно стремление строить такие математические модели, которые не только дают описание и объяснение уже установленных физических закономерностей изучаемого круга явлений, но и позволяют предсказать ещё не открытые закономерности. Классическим примером такой модели является теория всемирного тяготения Ньютона, позволившая не только объяснить движение известных к моменту её создания тел Солнечной системы, но и предсказывать существование новых планет. С другой стороны, появляющиеся новые экспериментальные данные не всегда могут быть объяснены в рамках принятой модели. Для их объяснения требуется усложнение модели.

В данной курсовой работе мы будем рассматривать приближенное решение задачи продольных колебаний упругого неоднородного стержня с одним закрепленным концом. Уравнение, которое описывает движение стержня, относится к классу волновых уравнений.

Волновое уравнение в математике – линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твердых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики. 
1 Вывод уравнения колебаний неоднородного стрежня

 

Рассмотрим неоднородный стержень длины l, т.е. тело цилиндрической или иной формы, для растяжения или изгибания которого надо приложить известное усилие. Последнее обстоятельство и отличает даже самый тонкий стержень от струны, которая, как все знают, гнется свободно.

Если несколько растянуть или сжать стержень вдоль продольной оси, а затем предоставить самому себе, то в нем возникнут продольные колебания.

Направим ось Ox вдоль оси стержня и будем считать, что в состоянии покоя концы сечения стержня находятся в точках x=0 и x=l. Пусть  
х - абсцисса некоторого сечения стержня, когда он находится в покое. Обозначим через смещение этого сечения в момент времени t, где . Тогда смещение сечения с абсциссой x+dx будет равно:

 

Отсюда ясно, что относительное удлинение стержня в сечении с абсциссой х выражается производной:

 

Теперь считая, что стержень совершает малые колебания, можно вычислить натяжение Т. Применяя закон Гука, получаем:

 

где E - модуль упругости материала стержня, а S - площадь его поперечного сечения. Возьмем элемент стержня, заключенный между двумя сечениями, абсциссы которых в состоянии покоя соответственно равны х и х+dx. На этот элемент действуют силы натяжения , приложенные в этих сечениях и направленные вдоль оси х. Используя закон сохранения, получаем, что результирующая этих сил имеет величину

 

и направлена также вдоль оси . С другой стороны, ускорение элемента равно , вследствие чего мы можем написать равенство:

 

где - объемная плотность стержня.

Сократим равенство (3) на S, проинтегрируем на отрезке [x, x+∆x] и перенесем все слагаемые в одну сторону:

 

Отсюда следует, что подынтегральная функция равна нулю в каждой точке стрежня в любой момент времени t, таким образом, получаем однородное уравнение колебаний струны

 

Форма этого уравнения показывает, что продольные колебания стержня носят волновой характер.

Если на стержень действует еще внешняя сила. Пусть

- распределение  внешних сил, действующих на стержень  параллельно оси Оu, и , то вместо (1.3) получаем:

 

Сократим на S последнее равенство, проинтегрируем на отрезке          [x, x+∆x] и перенесем все слагаемые в одну сторону:

 

 

откуда

 

Это есть уравнение вынужденных продольных колебаний стержня.

Одного уравнения движения (1.7) недостаточно для полного определения движения стержня. В начальный момент времени t=0 нужно задать начальные условия, задающие положение и скорость всех точек стержня:

 

где - заданные функции.

Кроме того, должны быть заданы граничные условия на концах стержня. Наш стержень закреплен только на одном конце, отсюда получаем:

 

в любой момент времени t. На свободном конце x=l натяжение T=ES равно нулю (нет внешних сил) и, следовательно, =0.

 

2 Метод Бубнова-Галеркина

 

 

 

 

Рассмотрим для задачи (2.1)-(2.3) метод Бубнова-Галеркина.

1. Выбираем базисные функции , удовлетворяющие граничным условиям:

 

2. Приближенное решение находим в виде:

 

3. Коэффициенты определяем из системы вида:

 

В пространстве скалярное произведение задается по формуле

 

Перепишем систему (2.6) с учетом равенств (2.4), (2.5), (2.7)

 

 

Получаем систему дифференциальных уравнений:

 

 

 

где

 

 

 

 

Так как E=const, и базисные функции – известны, то коэффициенты могут быть вычислены. Получим

 

 

Тогда система (2.8) имеет вид

 

Понизим порядок дифференциальных уравнений системы (2.9) с помощью подстановки

 

откуда

 

Тогда  получим  систему 

 

Используя начальные условия (2.2) исходной задачи, найдем начальные условия, которым удовлетворяют функции из системы (2.10). Так как

 

получаем

 

Умножим последнее равенство на и проинтегрируем на отрезке от 0 до l. Имеем

 

Чтобы получить недостающие начальные условия, продифференцируем равенство (2.5) по t.

 

Учитывая, что

 

получаем

 

Умножим последнее равенство на и проинтегрируем на отрезке от 0 до l. Имеем

 

Задача (2.10)-(2.12) это задача Коши. Тогда по теореме о существовании и единственности задачи Коши [Дифференциальные уравнения] задача (2.10)-(2.12) имеет решение и оно единственно.

 

 3 Метод конечных разностей

 

Наиболее часто среди численных методов встречаются разностные (сеточные) методы, которые являются универсальными. В их основе лежит идея дискретизации задачи и замена частных производных, которые входят у уравнения, их приближенными разностными отношениями.

Основные определения, связанные с методом конечных разностей, рассмотрим на примере конечно-разностного решения начально-краевой задачи (2.1)-(2.3).

Согласно методу сеток в плоской области D строится сеточная область Dh, состоящая из одинаковых ячеек. При этом область Dh должна как можно лучше приближать область D. Сеточная область (то есть сетка) Dh состоит из изолированных точек, которые называются узлами сетки. Число узлов будет характеризоваться основными размерами сетки h: чем меньше h, тем больше узлов содержит сетка. Узел сетки называется внутренним, если он принадлежит области D, а все соседние узлы принадлежат сетке Dh. В противном случае он называется граничным. Совокупность граничных узлов образует границу сеточной области Гh.

Сетка может состоять из клеток разной конфигурации: квадратных, прямоугольных, треугольных и других. После построения сетки исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением во всех внутренних узлах сетки. Затем на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах. Присоединяя граничные условия сеточной задачи к разностным уравнениям, записанных для внутренних узлов, получаем систему уравнений, из которой определяем значения искомого решения во всех узлах сетки.

Нанесем на пространственно-временную область , конечно разностную сетку

 

 

Pис. 1. Конечно-разностная сетка

Сеточной функцией задачи (2.1)-(2.3) называют однозначное отображение целых аргументов j,k в значения функции

На введенной сетке (3.1) вводят сеточные функции , первые две из которых известны, третья подлежит определению. Для определения, в задаче (2.1)-(2.3), заменяем дифференциальные операторы отношением конечных разностей, получаем

 

 

Подставляя (3.2)-(3.3) в задачу (2.1)-(2.3), получим явную конечно-разностную схему для этой задачи в форме

 

 

 

 

Условия (3.6) вытекают, очевидно, из начальных условий, первое равенство из (3.6) следует из первого граничного условия. Покажем, как получилось второе равенство (3.6). Рассмотрим аппроксимацию второго граничного условия

 

Откуда для значений получаем выражение

 

Недостатком такого подхода является первый порядок аппроксимации второго начального условия. Для повышения порядка аппроксимации воспользуемся следующей процедурой.

Разложим в ряд Тейлора в окрестности t=0:

 

Для определения второй производной в выражении (5.41) воспользуемся исходным дифференциальным уравнением

 

В результате получаем искомую сеточную функцию со вторым порядком точности:

 

Шаблон для явной схемы представлен на рис. 2.

 

Рис. 2.

С помощью явной схемы решение определяется сразу, поскольку значения сеточных функций , на нижних временных слоях должны быть известны. В соответствии с шаблоном для этой схемы порядок аппроксимации равен двум, как по пространственной, так и по временной переменной. При этом явная конечно-разностная схема (3.4) для волнового уравнения условно устойчива с условием = <1, накладываемым на сеточные характеристики τ и h, где =maxx.

Если в (3.3) дифференциальный оператор по пространственной переменной аппроксимировать отношением конечных разностей на верхнем временном слое, получим