Однородные и неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений

 

Где постоянные С_ij требуют определения путем подстановки этих выражений в исходную однородную систему. 

Замечание. Для решения однородных систем в случае, когда корень характеристического уравнения λ кратный и ему соответствует единственный собственный вектор P₁, может быть применен метод присоединения векторов.

Суть его  такова. Пусть P₂ – вектор-столбец, являющийся решением уравнения 

                            (20) 

тогда однородная система  

     (21) 

имеет два  линейно независимых решения 

. 

Покажем, что  Y₂ является решением. Имеем  

. 

Учитывая, что  P₁ и  - собственный вектор, а P₂  удовлетворяет условию (20), получаем  

. 

Нетрудно также  убедиться, что Y₁ и Y₂ линейно независимы. Следовательно, они образуют фундаментальный набор решений, и общее решение может быть найдено по формуле (4).

В общем случае корню характеристического уравнения  λ кратности k>1, имеющему один собственный вектор P₁,соответствует k линейно независимых решений 

,                                        (22) 

Где присоединенные векторы P₂,P₃,…,P_k являются последовательными решениями следующих алгебраических систем 

              (23)  [3 стр 519-522]

            
 

1.4 Методы решения неоднородных линейных систем  дифференциальных уравнений.

1) Для решения неоднородных линейных систем применяются методы, аналогичные методам, используемым для решения неоднородных линейных уравнений. Одним из таких методов является метод вариации постоянных. Продемонстрируем его суть на следующем примере. 

Пример:  

Решение. Решая  характеристическое уравнение 

 

Находим корни  λ₁=-1,  λ₂=4. Собственными векторами, отвечающими найденным собственным значениям, будут соответственно  

 

Следовательно, общее решение соответствующей  однородной системы имеет вид 

. 

Решение неоднородного  уравнения в соответствии с методом вариации постоянной будем искать в форме 

 

Для нахождения С₁(x) и C₂(x) подставив выражение для Y в исходную систему, получим  

 

Отсюда находим: 

 

где - производные постоянные. Таким образом, решение исходной системы будет 

 

2) В случае, когда столбец свободных членов системы имеет специальный вид 

           (24) 

Где P_m(x) и Q_k(x) – вектор-столбцы, элементами которых являются многочлены от х степени, не превышающей соответственно n и k, для отыскания частного решения уравнения целесообразно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Для систем он имеет определенную специфику. Суть метода такова.

Если число  γ = a + bi не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде   

 

где и - вектор-столбцы, элементами которых являются многочлены от x степени m=max{k,n}.

Если же γ  является корнем характеристического уравнения кратности l (резонансный случай), то частное решение ищется в форме 

   [ 3 стр 529-531] 
 
 

2. Решение линейных  систем дифференциальных уравнений.

2.1.Решение   методом сведения  линейной системы  к одному уравнению  более высокого  порядка.

2.2. решение однородных линейных  систем дифференциальных уравнений.

2.2.1. Решение видоизмененным методом Эйлера

Случай 1

Пример1.   

Решение. Составляем характеристическое уравнение

                           

   

Или . Находим корни: 

                               

Решение системы  ищем в виде 

              

и

               .

 

Составим систему (3) для корня  и определяем и : 

                      

Или

                             

Откуда  . Полагая , получаем . Таким образом,  мы получили решение системы:

                 

 Составим  далее систему (3) для корня и определяем и : 

 

Откуда  и =1, =1. Получаем второе решение системы: 

   

Общее решение  системы будет (см (6)) 

 

 

Пример2.  

Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы системы 

 или   

Находим его  корни: 

Составим систему (3) для корня  и определяем и : 

     или     =>   

Откуда  .  Полагая , получаем  .

Таким образом,  мы получили решение системы: 

                       

Составим далее  систему (3) для корня и определяем и : 

 

Откуда  и =1, =1.

Получаем второе решение системы:

           

Общее решение  системы будет

 

Пример3.  

Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы системы 

 

Раскрывая определитель, находим

Составим систему (3) для корня 

 

одно из которых - следствие двух других. Возьмем, например, первые два уравнения:

                               

Отсюда  

        

Приняв k=1/4,получаем собственный вектор (2;1;-2).

При λ=2 имеет  систему 

 

Используя первые два уравнения (третье – их следствие), находим 

      

Полагая  k=1, находим собственный вектор (7;3;-8).

При λ=3 имеет  систему 

 

Из последнего уравнения находим  Подставляем это значение p₁ в первое уравнение и находим Приняв получаем т.е. собственный вектор (3; 1; -3).

Фундаментальная система решении: 

 

Общее решение  записываем в виде 

 Случай 2.   

   Пример 1.     

Решение. Составляем характеристическое уравнение  

  или    

 и находим  его корни:     

Подставляем  в систему (3) и определяем и :  

         или           

Откуда  .  Полагая , получаем  .

Пишем решение (7):  

    

Подставляя  в систему (3), находим: 

   .

Получим вторую систему решений (8): 

   

Перепишем решения: 

или

 

За системы  частных решений можно взять  отдельно действительные части и  отдельно мнимые части 

                   

Общим решением системы будет 

 

 

Пример 2.   

Решение. Составляем характеристическое уравнение  

  или 

  

Характеристические  числа: λ₁=1, λ₂=i,  λ₃= - i.

При  λ₁=1 для определения собственного вектора получаем систему уравнений  

 

Эта система  определяет собственный вектор (1; 1; 0).

При λ₂=i получаем систему уравнений 

 

Эта система  определяет собственный вектор (1; i; 1-i).

При λ₃= - i получаем систему уравнений  

Эта система  определяет собственный вектор (1; -i; 1+i).

Значению λ₁=1 соответствуют решения

Значению λ₂=i  соответствуют решения

 

Значению λ₃= - i соответствуют решения

 Отделяя действительные  части, получим решения 

 до решать  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Случай 4. 

Пример 1.  

Решение. Характеристическое уравнение

Имеет единственный корень  λ=2 (кратности 2). Ему соответствует  единственный собственный вектор 

 

Поэтому решение  в этом случае будем искать в виде  

 

Подставляя  выражения для  y₁ и y₂ в исходную систему, находим 

 

Отсюда получаем систему