Федеральное Агентство по образованию

государственное Образовательное Учреждение высшего  профессионального образования

«Тюменский Государственный Нефтегазовый Университет»

Институт  Нефти и Газа 
 
 
 
 
 
 
 

Кафедра «математические методы в экономике» 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая работа

по математическому  анализу

Однородные  и неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений 
 
 
 
 
 
 
 
 

Проверил: старший преподаватель  
 
 
 
 

Тюмень 2007

Содержание

ВВедение

1 Системы линейных дифференциальных уравнений.

1.1 Общие сведения о линейных системах.

1.2 Метод сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка.

1.3 Методы решения однородных линейных  систем дифференциальных уравнений.

1.4 Методы решения неоднородных линейных систем  дифференциальных уравнений.

2. Решение линейных  систем дифференциальных уравнений.

2.1.Решение   методом сведения линейной системы  к одному уравнению более высокого  порядка.

2.2. Решение однородных  линейных  систем дифференциальных  уравнений. 

2.2.1. Решение  видоизмененным методом Эйлера

2.3.2. Решение  методом неопределенных коэффициентов 
 

    ВВЕдение

    1. Системы линейных  дифференциальных  уравнений. 

    1.1 Общие сведения  о линейных системах.

Линейные системы  – это системы дифференциальных уравнений вида

 

             (1) 

Где коэффициенты a_ij и f_i – некоторые функции независимой переменной x. Будем считать их непрерывными; тогда для данной системы заведомо выполняются условия теоремы о существование и единственности решения задачи Коши. Если все f_i=0, то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной. Система 

          (2)      

Называется  однородной системой, соответствующей неоднородной системе (1).

При изучении линейных систем удобно использовать матричные обозначения 

 

Позволяющие записать систему (1) в виде одного матричного уравнения 

  (3) 

Так же, как и  в случае линейных уравнений, общее  решение неоднородной системы представляет собой сумму частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы. В свою очередь, общее решение однородной системы имеет вид 

   (4) 

Где С₁,…,С_n- произвольные постоянные, а  

 

-произвольные  линейно независимые решения,  называемые фундаментальным набором решений этой системы. Критерием линейной независимости этих решений является неравенство нулю определителя Вронского 

               (5) 

1.2 Метод сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка.

(Этот метод  применим как для однородной, так и для неоднородной системы  линейных дифференциальных уравнений.)

Один из методов  интегрирования линейной системы заключается  в сведении системы к одному уравнению n-ого порядка с одной неизвестной функцией. Продемонстрируем это на примере системы двух уравнений. 

                       (6) 

Дифференцируя (по x) обе части первого уравнения системы (6), находим 

 

откуда, заменяя  производные y₁', y₂' их выражениями из самой системы, имеем 

. 

Группируя в  правой части, получим уравнение  вида 

                    (7) 

Где коэффициенты b₁, b₂ и d₁ определенным образом выражаются через коэффициенты a_ij и q₁ и их производные. Комбинируя уравнение (7) с первым уравнением системы (6), получим 

         (8)    

 

Предположим, что  в рассматриваемой области изменения  x  определитель  

отличен от нуля. Тогда систему (8) можно решить относительно y₁ и y₂, т.е. выразить y₁и y₂  через y’₁ и y”₂.

В результате приходим к уравнениям вида   

(9) 

.      (10) 

Первое из них  представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией y₁(t). Заметим, что если в исходной системе (6) все коэффициенты a_ij постоянны, то уравнение (9) также является уравнением с постоянными коэффициентами. [ 3 стр 509-510]

 

1.3  Методы решения  однородных линейных  систем дифференциальных  уравнений. 

1) Сведение к одному уравнению n-ого порядка. (Этот метод мы разбирали выше)

2) Решение ЛОСДУ с постоянными коэффициентами с помощью матриц (видоизмененный метод Эйлера).

Пусть дана система n линейных дифференциальных уравнений с n неизвестными функциями, коэффициенты которой постоянные: 

                                          (11) 

Эту систему  можно записать в виде одного матричного дифференциального уравнения 

. 

Здесь

   

[2 стр 169]

Ищем решение  системы в виде:  

                             X₁=α₁e^kt ,  X₂=α₂e^kt,……. X_n=α_ne^kt .       (12) 

Требуется определить постоянные α_1, α₂,…, α_n и k так, чтобы функции                       α₁e^kt, α₂e^kt,…,α_ne^kt  удовлетворяли системе уравнений (11). Подставим их в систему(1), получим: 

     

Сократим на e^kt. Перенося все члены в одну сторону и собирая коэффициенты при α_1, α₂,…., α_n , получим систему уравнений   

         

Выберем α_1, α₂,…., α_n  и k такими, чтобы удовлетворялась система (13).Эта система есть система линейных однородных алгебраических уравнений относительно α_1, α₂,…., α_n. Составим определитель системы (13):  

               (14)                   

   Если  k таково, что определитель ∆ отличен от нуля, то система (13) имеет только нулевые решения α₁=α₂=…=α_n=0,а следовательно, формулы (12) дают только тривиальные решения:  

X₁(t)=X₂(t)=…=X(t)=0. 

Таким образом, нетривиальные решения (12) мы получим только при таких k,при которых определитель (14) обращается в нуль. Мы приходим к уравнению n-ого порядка для определения k:     

                    (15)                                                                                            

Это   уравнение   называется характеристическим уравнением для системы (1),его корни называются корнями характеристического уравнения.

Рассмотрим  несколько случаев.

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Обозначим через   k₁, k₂,….k_n  корни характеристического уравнения. Для каждого корня k_j напишем систему (13) и определим коэффициенты  

   α₁⁽ⁱ⁾,α₂⁽ⁱ⁾,…, α_n ⁽ⁱ⁾. 

Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице. Таким образом, получаем:

для корня   k₁ решение системы (11)   

   

    Для корня k₂  решение системы (1) 

 

   ………………………………………………………. 

     для корней k_n   решение системы (1) 

    

Путем непосредственной подстановки в уравнения можно  убедиться, что система функций    

                                  (16)                                    

где С₁, С₂,….,С_n -произвольные постоянные, тоже является решением системы  дифференциальных уравнений (11). Это есть общее решение системы (11). Легко показать, что можно найти такие значения постоянных, при которых решение будет удовлетворять заданным начальным условиям. 

Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные. Пусть среди корней  характеристического уравнения имеется два комплексных сопряженных корня: 

   k₁ = α+iβ,           k₂ = α-iβ. 

Этим корням будут соответствовать решения  

                  (j = 1, 2, …,n),                 (17) 

              (j = 1, 2, …,n),                   (18) 

Коэффициенты  α _j⁽¹⁾ и  α _j⁽²⁾ определяются из системы уравнений (13).   

Можно показать, что действительные и мнимые части комплексного решения тоже являются решениями. Таким образом, мы получаем два частных решения: 

                                                          (19) 

Где - действительные числа, определяемые через и . Соответствующие комбинации функций (18) войдут в общее решение системы. [2 стр 112-115]

 Случай 3.  Характеристическое уравнение имеет единственный корень k (кратности 2), которому соответствуют два линейно независимых собственных вектора P₁ и P₂ (т.е. кратность корня совпадает с числом линейно независимых собственных векторов). Векторы P₁ и P₂ порождают два линейно независимых решения  

     

И общее решение, так же как и в случае 1, находится по формуле (4) .

Случай 4.  Характеристическое уравнение имеет единственный корень k (кратности 2), которому с точностью до постоянного множителя соответствует один собственный вектор P₁ (т.е. кратность корня больше числа линейно независимых собственных векторов). В этом случае для отыскания решения целесообразно применить метод неопределенных коэффициентов. Согласно этому методу общее решение необходимо искать в форме