Дифференциальное уравнение
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 24 Февраля 2016 в 22:44, контрольная работа
Описание работы
3. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
23. Найти общее решение уравнения
43. Найти область сходимости степенного ряда
63. С помощью разложения подынтегральной функции в ряд,
вычислить определенный интеграл с точностью до
73. Найти первые четыре (отличные от нуля) члена разложения в
степенной ряд решения дифференциального уравнения,
удовлетворяющего начальным условиям.
Файлы: 1 файл
3. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
2
2
2
.
xy
y
x
y
′ =
−
Решение:
2
2
2
2
2
2
однородное дифференциальное уравнение, которое будем
решать с помощью замены
, тогда '
'
, подставляя и '
2
в исходное уравнение, получаем '
,
( )
2
'
, '
1
xy
y
x
y
y ux
y u x u
y y
xux
u x u
x
ux
u
u x u
u x
u
′ =
−
−
=
=
+
+ =
−
+ =
=
−
3
3
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
;
;
уравнение с
1
1
(1
)
разделяющимися переменными, решая его, получаем:
;
(1
)
(1
)
Интегрируя последнее равенство, находим ln |
|
(
1)
(1
)
(
u u u
du
u u
x
u
dx
u
u du dx
u u
x
u du
u du
Cx
u u
u u
u
u u
− +
+
=
−
−
−
−
=
+
−
−
=
=
=
+
+
−
=
∫
∫
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
1) (
)
(
)
1)
1
(
1)
(
1)
1
1,
0
0,
1
2
2
(
1)
ln | |
ln | | ln |
1| ln
1
1
1
Откуда
; Поскольку
, то получаем:
1
( )
a bu c a u
bu c u u a b uc a
u u
u u
u u
du
a b
a
с
u
c
a
b
udu
d u
u
u
u
u
u
u
u
y
u
y
x
Cx
u
Cx
y
u
x
x
+
+ +
+
+ + +
= +
=
=
⇒
+
+
+
+
=
−
+ = −
=
=
=
=
= −
+
−
=
−
=
−
+ =
+
+
+
=
=
=
+
∫
∫
∫
2
2
2
2
2
;
1
- общий интеграл исходного уравнения.
xy
y
Cx
C
y
x
y
x
+
=
⇒ =
+
+
Ответ:
2
2
y
C
y
x
=
+
23. Найти общее решение уравнения
2
4
4
8
x
y
y
y
e
−
′′
′
+
+
=
.
Решение:
Это линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами и
специальной правой частью. Составляем характеристическое уравнение
2
4
4 0
k
k
+
+ = для соответствующего однородного уравнения, которое имеет
корень
2
k = −
кратности 2. Следовательно, общее решение однородного
уравнения имеет вид:
(
)
2
1
2
.
x
y
C C x e
−
=
+
Так как правая часть исходного уравнения имеет специальный вид
( )
x
n
P x e
α
, причем
2
α
= − является корнем характеристического уравнения и
2
r = , то его частное решение
*
y ищем в виде:
*
2
2
.
x
y
Ax e
−
=
Тогда
(
)
*
2
2
2
2
2
2
2
2
;
x
x
x
y
Axe
Ax e
A x x e
−
−
−
′ =
−
=
−
(
)
(
)
(
)
*
2
2
2
2
2
2 1 2
4
2 1 4
2
.
x
x
x
y
A
x e
A x x e
A
x
x e
−
−
−
′′ =
−
−
−
=
−
+
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим тождество:
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2 1 4
2
8
4
8
4.
x
x
x
x
A
x
x e
A x x e
Ax e
e
A
−
−
−
−
−
+
+
−
+
=
⇒
=
Таким образом,
*
2
2
4
x
y
x e
−
=
, а общее решение исходного уравнения
имеет вид:
(
)
*
2
2
2
1
2
4
.
x
x
y y y
C C x e
x e
−
−
= +
=
+
+
43. Найти область сходимости степенного ряда.
1
2
n
n
n
x
n
∞
=
+
∑
Решение:
Найдем радиус сходимости данного ряда:
1
1
1
1
;
2
1 2
n
n
n
n
C
C
n
n
+
+
=
=
+
+ +
;
1
1
1
1
1
1 2
lim
lim
:
lim
2
2
1 2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
n
R
C
n
n
n
+
+
→∞
→∞
→∞
+
+ +
=
=
=
=
+
+ +
+
.
Тогда данный ряд сходится при
2
2
x
− < <
. Исследуем сходимость ряда
на концах интервала:
2
x = −
:
( )
( )
1
1
2
1 2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
∞
∞
=
=
−
−
⋅
=
+
+
∑
∑
;
2
x =
:
1
2
2
n
n
n
n
∞
=
+
∑
.
Оба ряда расходятся по необходимому признаку сходимости:
2
1
lim
lim
1 0
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
→∞
→∞
=
= ≠
+
+
.
Итак, областью сходимости ряда
1
2
n
n
n
x
n
∞
=
+
∑
является
2
2
x
− < <
.
Ответ:
2
2
x
− < <
63. С помощью разложения подынтегральной функции в ряд,
вычислить определенный интеграл с точностью до
0,001
ε =
.
1
0
sin x
dx
x
∫
.
Решение:
Воспользуемся разложением
( )
(
)
3
2 1
1
sin
...
1
...
3!
2 1 !
n
n
x
x
x x
n
−
−
= −
+ + −
+
−
.
Тогда
( )
(
)
2
2 2
1
sin
1
...
1
...
3!
2 1 !
n
n
x
x
x
x
n
−
−
= −
+ + −
+
−
.
Ряд сходится при всех х. Оба предела принадлежат интервалу
сходимости, тогда почленно его проинтегрируем:
( )
(
)
1
1
2
2 2
1
0
0
1
3
5
7
0
sin
1
...
1
...
3!
2 1 !
1
1
1
...
1
...
3 3! 600 35280
18 600 35280
1 0,0556 0,00167 0,00003 ...
Четвертый член этого ряда по модулю
меньше заданной то
n
n
x
x
x
dx
dx
x
n
x
x
x
x
−
−
=
−
+ + −
+
=
−
=
−
+
−
+
= − +
−
+ ≈
⋅
≈ −
+
−
+ =
=
∫
∫
чности (0,00003<0,001).
Значит, достаточно взять сумму первых трех слагаемых
1 0,056 0,002 0,946
≈
≈ −
+
=
Ответ:
1
0
sin
0,946
x
dx
x
≈
∫
73. Найти первые четыре (отличные от нуля) члена разложения в
степенной
ряд
решения
дифференциального
уравнения,
удовлетворяющего начальным условиям.
( )
2
0, 0 1
y
y
y
′−
=
=
.
Решение:
( )
2 , 0 1
y
y y
′ =
=
Применим для исходного уравнения метод последовательных
дифференцирований. Решение
( )
y x
ищем в виде
( )
2
(0)
(0)
(0)
( )
(0)
...
...
1!
2!
!
n
n
y
y
y
y x
y
x
x
x
n
′
′′
=
+
+
+ +
+
в соответствии с начальными условиями
y(0)=1
. Из уравнения следует,
что
2
y
y
′ =
. Подставляя в это выражение
0, y=1
x =
, получим
(0) 2
y′
=
Для
получения остальных производных будем последовательно
дифференцировать исходное уравнение:
2 ,
2 ,
y
y
y
y
′′
′
=
′′′
′′
=
Отсюда получим
(0) 4, y (0)=8.
y′′
′′′
=
Подставляя найденные значения в степенной ряд для
( )
y x
,
получим
2
3
2
3
4
8
4
( ) 1 2
... 1 2
2
...
2!
3!
3
y x
x
x
x
x
x
x
= +
+
+
= +
+
+
+
Ответ:
( )
2
3
4
1 2
2
.
3
y x
x
x
x
≈ +
+
+
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.
Минюк, С.А. Математика для инженеров: учебник: в 2 т. / С.А.
Минюк, Н.С. Березкина, А.В. Метельский; под науч. ред. Н.А. Микулика. Т.
2. - Минск: Элайда, 2006.
2.
Гусак, А.А. Высшая математика. Т. 2. - Минск: ТетраСи- стемс,
2009.
3.
Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление
(для втузов) / Н.С. Пискунов. Т. 2. - Москва: Наука, 1985.
4.
Жевняк, Р.И. Высшая математика: в 5 ч. / Р.И. Жевняк,
А. А. Карпук. Ч. 3, 4. - Минск: Высш. шк., 1984-1988.
5.
Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. /
П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - Москва: Оникс, 2005.
6.
Гусак, А.А. Справочное пособие к решению задач: теория
функций комплексной переменной и операционное исчисление / А.А. Гусак,
Г.М.Гусак, Е.А. Бричикова. - Минск: ТетраСистемс, 2002.
7.
Рябушко, А.П. и др. Индивидуальные задания по высшей
математике: учебное пособие в 4 ч. Ч. 3. / Рябушко А.П., Бархатов
В. В. и др. Под ред. А.П. Рябушко. - Мн.: Выш. шк., 2009.
8.
Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей математике:
ч. 4. / А.П. Рябушко. - Минск: Выш. шк., 2009.
9.
Лебедева, Г.И. Интеграл по фигуре: методическое пособие по
высшей математике / Г.И. Лебедева и др. - Минск: БНТУ, 2009.
Ю.Микулик, Н.А. Элементы теории функций комплексного
переменного. Конспект лекций и практические занятия /Н.А. Мику лик и др.
- Минск: БНТУ, 2009.
11. Сухая, Т.А. Сборник задач по высшей математике / Т.А. Сухая,
В.Ф. Бубнов. Ч. 2. - Минск: Выш. шк., 1993.
12. Воронович,
Г.К.
Элементы
операционного
исчисления.
Методические указания и контрольные задания для студентов всех форм
обучения / Г.К. Воронович и др. - Минск: БНТУ, 2009.
Информация о работе Дифференциальное уравнение