Конечно-разностный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

    Решение этой системы методом Крамера  даёт:

    Т.о. квадратичная зависимость у = а₀ + а₁х + а₂х² имеет вид:

у = 2,12433 + 0,00729·х + 0,006996·х².

     В нижней строке таблицы по полученному уравнению тоже рассчитаны значения по заданным значениям Х и остаточная сумма квадратов отклонений, которые записаны в нижних строках таблицы.

    Эмпирическая  ломаная, а также линии линейной и квадратичной модели построены на рисунке.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Результаты  и выводы.

    1. Т.о. интерполяционный полином Лагранжа и Ньютона, построенный по 4 заданным узлам интерполяции имеет вид:

    Значения  функции, вычисленные по этому полиному третьей степени, точно совпадают  с заданными значениями в узлах интерполяции.

    Полученное  уравнение позволяет найти приближённые значения функции в любых промежуточных  точках от х₁ = 2,9 до х₄ = 9,7.

    2. Применение метода минимальных квадратов (МНК) к аппроксимации пяти экспериментальных точек линейной зависимостью вида у = а₀ + а₁х, т.е. прямой линией и квадратичной зависимостью вида , т.е. параболой дало следующие выражения:

    – линейная зависимость реализована  уравнением:  у = 2,0887 + 0,0473х

– квадратичная зависимость реализована уравнением: у = 2,1243 + 0,0073·х + 0,007·х².

    Судя  по остаточной сумме квадратов отклонений, квадратичная зависимость несколько лучше аппроксимирует экспериментальные данные, т.к. для неё остаточная сумма квадратов отклонений меньше, чем для линейной функции. 

    Список  использованной литературы

    1. Самарский А.А. Гулин А.В. Численные методы. М. МГУ. 1989 год.

    2. Н. С. Бахвалов; Н.П. Жидков; Г.М. Кобельков. Численные методы. М 2003 год;

    3. В.А. Буслов, С.Л.Яковлев. Численные методы и исследование функций. СПГУ. Курс лекций. СПБ 2001 г

    4. Г.А. Зуева. Метод наименьших квадратов и его применение. Электронное учебное пособие. Иваново, 2009