Для уменьшения погрешности приближения  корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжают делить отрезки, содержащие корень, пополам.

    Из  отрезков [a; c₁] и [c₁; b] выбирают тот, для которого выполняется неравенство (1).

    Далее повторяем операцию деления отрезка пополам, т.е. находим и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность т.е. до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства

    Достоинство метода: простота (достаточно выполнения неравенства (1)).

    Недостаток метода: медленная сходимость результата к заданной точности.

    Метод хорд (секущих).

    Этот  метод применяется при решении  уравнений вида f(x) = 0, если корень уравнения отделён, т.е. и выполняются условия:

    1) (функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка.

    2) производная сохраняет знак на отрезке [a; b], т.е. функция f(x) либо возрастает, либо убывает на отрезке [a; b].

    Первое  приближение корня находится  по формуле:

    

.

    Для следующего приближения из отрезков [a; х₁] и [х₁; b] выбирается тот, на концах которого функция f(x) имеет значения разных знаков.

    Если  , то второе приближение вычисляется по формуле:

    

    Вычисления  продолжаются до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно оставить в ответе.

    Метод касательных (Ньютона).

    Этот  метод применяется, если уравнение  f(x) = 0 имеет корень , и выполняются условия:

    1) (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка [a; b];

    2) производные сохраняют знак на отрезке [a; b], т.е. функция f(x) либо возрастает, либо убывает на отрезке [a; b], сохраняя при этом направление выпуклости.

    На  отрезке [a; b] выбирается такое число х₀, при котором f(x₀) имеет тот же знак, что и , т. е. выполняется условие . Таким образом, выбирается точка с абсциссой x₀, в которой касательная к кривой на отрезке [a; b], пересекает ось OX. За точку x₀ сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

    Первое  приближение корня определяется по формуле: .

    Второе  приближение корня определяется по формуле: .

    Вычисления  ведутся до совпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или  при заданной точности – до выполнения неравенства .

    Достоинства метода: простота, быстрота сходимости.

    Недостатки  метода: вычисление производной и  трудность выбора начального положения.

    Комбинированный метод хорд и касательных.

    Если  выполняются условия:

    1) ,

    2) и сохраняют знак на отрезке [a; b],

то приближения  корня  уравнения по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.

    Схема решения уравнения методом хорд и касательных

    1. Вычислить значения функции и .

    2. Проверить выполнение условия . Если условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок [a; b].

    3. Найти производные .

    4. Проверить постоянство знака производных на отрезке [a; b]. Если нет постоянства знака, то неверно выбран отрезок [a; b].

    5. Для метода касательных выбирается за х₀ тот из концов отрезка [a; b], в котором выполняется условие , т.е. и одного знака.

    6. Приближения корней находятся:

    а) по методу касательных: ,

    б) по методу хорд: .

    7. Вычисляется первое приближение корня: .

    8. Проверяется выполнение условия: , где - заданная точность.

    Если  условие не выполняется, то нужно  продолжить применение метода по схеме 1 – 8.

    В этом случае отрезок изоляции корня  сужается и имеет вид  . Приближённые значения корня находятся по формулам:

    

            и            .

    Вычисления  продолжаются до тех пор, пока не будет  найдено такое значение , при котором и совпадут с точностью .

    В простейших случаях используют метод  простых итераций, вычисляя последовательно значения функции у = f(x), изменяя значения х, чтобы у→ 0 и его модификацию – "метод вилки", изменяя величину х так, чтобы если f(x₁) > 0, то f(x₂) < 0 и сужая интервал [х₁; х₂].  

    1.2.2. Интерполяция функций.

    Интерполяция, интерполирование – в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

    В практике приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией кривой. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

    Существует  также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

    На  практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко  вычислять, легко аналитически находить их производные.

    Линейная  интерполяция – интерполяция алгебраическим двучленом Р₁(x) = ax + b функции f(x), заданной в двух точках x₀ и x₁ отрезка [a, b].

    

    В случае, если заданы значения в нескольких точках, функция заменяется кусочно-линейной функцией.

    Интерполяционная формула Ньютона применяется, если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что x_{i + 1} − x_i = h = const, то есть x_i = x₀ + ih. Тогда интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона.

    Интерполяционные  полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона).

    Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона

    В случае равноудаленных центров интерполяции, находящихся на единичном расстоянии друг от друга, справедлива формула:

где – обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

    Прямая интерполяционная формула Ньютона

 где

    а выражения вида Δ^ky_i – конечные разности.

    Обратная интерполяционная формула Ньютона

   где .

    Интерполяционный  многочлен Лагранжа – многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек.

    Для n + 1 пар чисел , где все x_i различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(x_i) = y_i. В простейшем случае      (n = 1) – это линейный многочлен, график которого – прямая, проходящая через две заданные точки.

    Лагранж предложил способ вычисления таких  многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

l_j(x) обладают следующими свойствами:

а) являются многочленами степени n;   б) l_j(x_j) = 1;  в) l_j(x_i) = 0 при .

    Отсюда  следует, что L(x), как линейная комбинация l_j(x), может иметь степень не больше n, и L(x_j) = y_j. 

    1.2.3. Метод наименьших квадратов и его применения.

    Задача  приближения функции возникает  при решении многих задач, а иногда и как самостоятельная. Например, если известна некоторая функция, которая задана аналитически или таблично, но получение значений этой функции сопряжено с большим объемом вычислений, то можно поставить задачу приближения этой функции другой функцией, близкой к исходной, но более удобной для расчетов. Например, замена функции многочленом позволяет получать простые формулы численного дифференцирования и интегрирования. Возникает также и другая задача – восстановление аналитического вида функции на некотором отрезке по заданным на нём значениям функции в дискретном множестве точек. Замена таблицы приближающей функцией позволяет получать ее значения в промежуточных точках. Теория приближения функций является важным вспомогательным аппаратом при численном решении дифференциальных уравнений.

    В общем случае при постановке задачи приближения необходимо решить следующие  вопросы.

    Во-первых, требуется определить, какой класс приближающих функций необходимо выбрать. Здесь все зависит от вида приближаемой функции и целей, для которых в дальнейшем будет использоваться приближающая функция. Широко используются следующие классы функций: многочлены, тригонометрические функции, показательные и логарифмические функции и др.

    Во-вторых, необходимо выбрать критерий близости исходной и приближающей функций. В качестве критерия можно выбрать, например, точное совпадение приближаемой и приближающей функций – задача интерполирования. Но при большом количестве узлов он является неудобным и сложным, так как потребует нахождения либо многочлена большой степени, либо другой громоздкой функции с графиком, проходящим через все табличные точки.

    Часто с помощью какой-либо простой  функции с проходящим около табличных точек графиком удается добиться эффекта сглаживания ошибок и получить достаточно точное приближение. В общем случае, необходимо добиться того, чтобы отклонение приближающей функции от приближаемой в табличных точках было минимально

    Но  использовать в качестве критерия близости сумму отклонений не имеет смысла, т. к. при сложении разности будут компенсировать друг друга. Поэтому, учитывая также и то, что величина погрешности в экспериментальных точках может быть разной, необходимо минимизировать среднее значение суммы абсолютных погрешностей в заданных точках. Если приближаемая функция y = f(x) задана таблицей своих значений: y_j = f(x_j), j = 1, 2, ..., n, и имеется некоторая приближающая функция Ф(х), определенная для всех значений x_j, то данный критерий запишется следующим образом:

    

    Это условие было предложено Эджвортом. В современной литературе этот способ аппроксимации носит название равномерное приближение. Однако приближение функций по этому способу в широкое употребление не вошло.

    Вместо  среднего значения модуля отклонения используется среднее квадратическое отклонение эмпирической и теоретической величины в соответствии с выражением:

    

    Если  же приближаемая функция y = f (x) задана аналитически, т. е. она считается известной в любой точке x отрезка [a;  b], то близость между y и приближающей функцией Ф(x) понимается в интегральном смысле: