Конечно-разностный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

    3.2. Вычислить приближенное значение интеграла , используя формулы:

    а) трапеций (n = 10); б) Симпсона (n = 10); в) Гаусса (n = 5).

    Решение: Ограничимся в расчётах 4 знаками после запятой. Для приближённого вычисления определённого интеграла методом трапеций используется формула:

    

    Разобьём  интервал (–1; 9) на n = 10 отрезков (h =1) и вычислим значения подынтегрального выражения для начала и конца каждого отрезка.

    Тогда по формуле трапеций, имеем:

Используя формулу  Симпсона (формулу параболических трапеций) в виде:

получим:

Применяя к  исходному интегралу квадратурную формулу Гаусса, имеем:

 где 

Для n = 5, коэффициенты t_i, представляющие нули полинома Лежандра и коэффициента А_i (эти значения табулированы в справочных таблицах) составляют:

Тогда:

 

    3.3. Построить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона по следующим табличным данным:

      Проверить совпадение значений интерполирующего многочлена с табличными значениями функции в узлах интерполяции.

    Решение: Интерполяционный полином Лагранжа для четырёх узлов интерполяции записывается в виде:

    

    

    Подставим численные значения из заданной таблицы:

    

    

    

    

    

    

    

    Для составления интерполяционного  полинома в форме Ньютона, вычислим разности первого порядка для заданной таблицы по формуле:

    

    Вычислим  разности второго порядка по формуле:

    Вычислим  разность третьего порядка по формуле:

Тогда интерполяционный полином Ньютона L_n(x) приобретает следующую форму:

    Расчёты показывают, что оба интерполяционных полинома практически одинаковы, т.е. интерполяция ряда точек полиномом третьей степени осуществляется единственным образом.

По заданным узлам интерполяции х_i значения полинома по этому уравнению составляют:

    Расчётные значения практически совпадают  с заданными значениями f(x).

    По  полученному уравнению построена  кривая, проходящая через узлы интерполяции.

    

 

    3.4. Найти оценки параметров линейной и квадратичной моделей функциональной зависимости величин у и х по результатам наблюдений , приведенным в таблице:

    Построить чертеж: на плоскости нанести экспериментальные  точки  , построить графики полученных эмпирических функций .

    Решение: Коэффициенты "a₀ и а₁" линейной модели найдём, выполнив необходимые вычисления. Расчеты  сведем в таблицу:

Тогда:

   

    Т.о. линейная зависимость у = а₀ + а₁х имеет вид:    у = 2,08865 + 0,0473х.

    По  этой зависимости определены выровненные  значения и остаточная сумма квадратов отклонений, которые записаны в нижних строках таблицы.

    Коэффициенты  а₀, а₁, а₂ квадратичной зависимости найдём, также выполнив необходимые расчёты в таблице:

    Составим  систему уравнений: