Конечно-разностный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

    Если  функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

    Площадь трапеции на каждом отрезке:

    Полная  формула трапеций в случае деления  всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:

    Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Этот метод получил название метода парабол или метода Симпсона.

    Обычно  в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю  точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

.

Если разбить  интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем

    Описанные выше методы используют фиксированные  точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности (1 – методы правых и левых прямоугольников, 2 – методы средних прямоугольников и трапеций, 3 – метод парабол (Симпсона)). Если можно выбирать точки, в которых вычисляется значения функции f(x), то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Этот способ реализован в методе Гаусса.

    Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной  функции, можно получить метод уже  не 1-го, а 3-го порядка точности:

.

    В общем случае, используя n точек, можно получить метод с порядком точности 2n − 1. Значения узлов метода Гаусса по n точкам являются корнями полинома Лежандра степени n.

    Значения  узлов метода Гаусса и их весов  приводятся в справочниках специальных  функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.

    Метод Гаусса-Конрада  позволяет оценить точность значения интеграла, вычисленного методом Гаусса.

    В численном интегрировании имеются  труды Чебышева, интегрирование при  бесконечных пределах рассмотрены в методе Самокиша, существуют методы Монте-Карло, применяемые в многомерных случаях, методы Рунге-Кутта.  

2. Конечно-разностный метод решения краевых задач.

  для обыкновенных  дифференциальных уравнений. 

      Примером краевой задачи является двухточечная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

    

с граничными условиями, заданными на концах отрезка [a; b]:

    

    Следует найти такое решение у(х) на этом отрезке, которое принимает на концах отрезка значения у₀, у₁. Если функция линейна по аргументам , то задача поиска этой функции – линейная краевая задача, в противном случае – нелинейная..

    Кроме граничных условий, задаваемых на концах отрезка и называемых граничными условиями первого рода, используются еще условия на производные от решения на концах - граничные условия второго рода:

    

или линейная комбинация решений и производных – граничные условия третьего рода:

где – такие числа, что

    Возможно  на разных концах отрезка использовать условия различных типов.

    Наиболее  распространены два приближенных метода решения краевой задачи:

    - метод стрельбы (пристрелки);

    - конечно-разностный  метод. 

     Используя конечно-разностный метод, рассмотрим двухточечную краевую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка на отрезке [а; b].

     

     Введем разностную сетку на отрезке [а; b]:

     

     Решение задачи будем искать в виде сеточной функции:

     

 предполагая, что решение существует и единственно.

    Введем  разностную аппроксимацию производных  следующим образом:

    

    Подставляя  эти аппроксимации производных в исходное уравнение, получим систему уравнений для нахождения y_k:

    

    Приводя подобные члены и учитывая, что при задании граничных условий первого рода два неизвестных уже фактически определены, получим систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов:

    

    Для этой системы уравнений при достаточно малых шагах сетки h и q(x_k) < 0 выполнены условия преобладания диагональных элементов:

    

 что  гарантирует устойчивость счета  и корректность применения метода  прогонки для решения этой системы.

    В случае использования граничных  условий второго и третьего рода аппроксимация производных проводится с помощью односторонних разностей первого и второго порядков:

    

    

    В первом случае линейная алгебраическая система аппроксимирует дифференциальную задачу в целом только с первым порядком (из-за аппроксимации в граничных точках), однако сохраняется трех диагональная структура матрицы коэффициентов. Во втором случае второй порядок аппроксимации сохраняется везде, но матрица линейной системы не трехдиагональная.

    Пример. Решить краевую задачу:

    

   с шагом 0,2.

    Здесь р(х) = х; q(x) = 1; f(x) = 0; N = 5; x₀ = 0; x₁ = 0,2; x₂ = 0,4; x₃ = 0,6; x₄ = 0,8; x₅ = 1;

    Во  всех внутренних узлах отрезка [0; 1] после замены производных их разностными аналогами получим:

    

    На  левой границе y₀ = 1, на правой границе аппроксимируем производную односторонней разностью 1-го порядка:

    

    С помощью группировки слагаемых, приведения подобных членов и подстановки  значений x_k, а также с учётом у₀ = 1, получим систему линейных алгебраических уравнений:

    

.

    В результате решения системы методом  Крамера в Excel, получим:

    

    Решением  краевой задачи является табличная функция:

      

    3. Расчетная часть 

    3.1. Найти действительные корни уравнения методами простых итераций и касательных (Ньютона) с точностью до 0,00001.

      Решение: Для нахождения корня уравнения предварительно отделим корень уравнения графическим методом, записав уравнение в виде:

      

      Построим  в осях ХОУ графики функций:

       

:

    Линии графиков пересекаются в единственной точке с абсциссой х₀, лежащей в интервале [0,5; 0,6], т.е.

    а = 0,5; b = 0,6.

    Значение  функции  на концах интервала:

    

    

    Т.к. знаки различны, то уравнение имеет единственный корень в интервале [0,5; 0,6].

3.1.1. Уточнение корня методом простых итераций.

    Приведём  исходное уравнение к виду:

    φ(x) = x + С·f(x).

    Т.к. первая производная заданной функции  в этом интервале положительна и численно первая производная на этом участке близка к 1,5, то константу С выбираем из интервала:

    

 

    Примем С = – 1.

    Т.о. итерационная функция приобретает  вид:

    φ(x) = x – f(x).

    Делаем  первую итерацию:

    

    Делаем  вторую итерацию:

    

    

    Делаем третью итерацию:

    

    

    Делаем четвёртую итерацию:

    

    

    Делаем  пятую итерацию:

    

    

    Делаем  шестую итерацию:

    

    

    Делаем  седьмую итерацию:

    

    

    Делаем  восьмую итерацию:

    

    

    Делаем  девятую итерацию:

    

    

    Продолжая далее, получаем:

    

    

    На 19-ой итерации изменение шестого  знака после запятой, позволяет утверждать, что пятый знак – после запятой – 5. Т.о. значение корня с заданной точностью:

    х₀ = 0,57615 

    3.1.2. Уточнение корня методом касательных (метод Ньютона):

    Т.к. уравнение то же, то интервал, содержащий искомый корень, оставляем тот  же [0,5; 0,6], т.е. а = 0,5; b = 0,6.

    Находим первую и вторую производную функции  :

    

    Очевидно  необходимые условия выполняются, т.к.:

    

, т.е. сохраняют знак на  отрезке  .

    Выполняем первое приближение (х₀ = 0,5):

    

    

    Выполняем второе приближение (х₁ = 0,571429):

    

    

    

    Выполняем третье приближение (х₂ = 0,576128:

    

    

    

    Выполняем четвёртое приближение (х₃ = 0,576146):

    

    В пределах заданной точности f(x₂) оказался равен нулю, т.е. требуемая точность достигнута за 4 шага. Значение корня с заданной точностью: