Конечно-разностный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

    ИНСТИТУТ  ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (г. КАЗАНЬ)

    Кафедра высшей математики 
 
 
 
 
 
 
 
 

    КУРСОВОЙ  ПРОЕКТ

    ПО  ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

    НА  ТЕМУ:

    ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 

Конечно-разностный метод решения  краевых задач

  для обыкновенных  дифференциальных уравнений. 
 
 
 
 
 
 
 

                                          Выполнил:

                                          студент группы № _____

                                          дневного (заочного) отделения

                                          факультета менеджмента  и маркетинга

                                          специальность: управление качеством

                                          _______________________________

                                          номер зачетной книжки __________

                                          контактный телефон: ____________ 

                                          Руководитель:

                                          доц. Лебедев В.Н. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Казань – 2010 г. 

    СОДЕРЖАНИЕ 

      Ведение ……………………………………………………………………………….3

    1. Общая теоретическая часть………………………………………………………..4

    1.1. Действия с приближёнными величинами……………………………………....4

    1.2. Основные численные методы……………………………………………………7

    1.2.1. Решение алгебраических и трансцендентных  уравнений…………………...7

    1.2.2. Интерполяция функций………………………………………………………..10

    1.2.3. Метод наименьших квадратов и его применения……………………………11

    1.2.4. Численное интегрирование……………………………………………………14

    2. Конечно-разностный метод решения краевых задач  для обыкновенных

      дифференциальных уравнений……………………………………………………...16

    3. Расчетная часть…………………………………………………………………….18

    3.1. Поиск действительных корней уравнения……………………………………..18

    3.2. Приближеннее вычисление интеграла………………………………………….20

    3.3. Построение интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона………...21

    3.4. Оценки параметров линейной и квадратичной моделей……………………...22

    Результаты  и выводы…………………………………………………………………24

    Список  использованной литературы………………………………………………...24

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    ВВЕДЕНИЕ 

    Появление и непрерывное совершенствование  быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) привело к подлинно революционному преобразованию науки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ.

    Первая  крупная проблема – овладение  ядерной энергией – требует решения комплекса сложных задач физики и механики (управление работой реактора, использование энергии деления ядер урана, защита от проникающего излучения, охлаждение стенок реактора, изучение тепловых полей и упругих напряжений в стенках, решение многих других задач). Все эти задачи необходимо решать до начала работы реактора, используя для них математическое описание (модель) и проводя численные расчеты на ЭВМ.

    Вторая  крупная проблема – освоение космоса – связана с созданием летательных аппаратов и решением для них многих задач аэродинамики и баллистики (например, расчет движения ракеты и управление ее полетом). Здесь также имеется комплекс сложных задач механики, физики и техники, которые могут быть решены только с использованием численных методов.

    Ещё одну проблема, стоящая перед человечеством – поиск новых источников энергии. Один из основных проектов получения энергии – использование реакции управляемого термоядерного синтеза ядер дейтерия и трития. Запасы термоядерного горючего на Земле практически неисчерпаемы, а продукты реакции не загрязняют среду. Однако термоядерная реакция начинается только при экстремальных условиях – при высокой температуре (порядка десятков и сотен миллионов градусов) и огромном сжатии (в тысячи раз) дейтерия и трития; кроме того, требуется удержать горючее вещество в этом состоянии в течение времени, достаточного для развития реакции горения (синтеза). Создание таких условий – пока еще нерешенная научно-техническая проблема.

    Существует  несколько проектов нагрева, сжатия и удержания термоядерного горючего (плазмы). При их реализации возникает много вопросов, которые надо решать до начала проектирования даже экспериментальных установок. Необходимо прежде всего изучить поведение плазмы при высоких температурах и плотностях, в магнитных полях и выяснить условия, при которых возможна сама реакция термоядерного синтеза.

    Такие исследования проводятся па основе математического описания (математической модели) физических процессов и последующего решения соответствующих математических задач на ЭВМ при помощи вычислительных алгоритмов.

    В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание – вычислительный эксперимент, т. е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики.

    На  первом этапе проводится выбор математической модели, т. е. приближенное описание процесса в форме алгебраических, дифференциальных или интегральных уравнений. Эти уравнения обычно выражают законы сохранения основных физических величин (энергии, количества движения, массы и др.). Полученную математическую модель необходимо исследовать методами теории дифференциальных уравнений.

    Надо  установить, правильно ли поставлена задача, хватает ли исходных данных, не противоречат ли они друг другу, существует ли решение поставленной задачи и единственно ли оно. На этом этапе используются методы классической математики. Следует отметить, что многие физические задачи приводят к таким математическим моделям, разработка теории которых находится в начальной стадии. На практике приходится решать задачи математической физики, для которых не имеется теорем существования и единственности.

    Второй  этап вычислительного эксперимента состоит в построении приближенного численного метода решения задачи, т. е. в выборе вычислительного алгоритма. Под вычислительным алгоритмом понимают последовательность арифметических и логических операций, при помощи которых находится решение математической задачи, сформулированной на первом этапе.

    Па  третьем этапе осуществляется программирование вычислительного алгоритма для ЭВМ и на четвертом этапе – проведение расчетов па ЭВМ. Деятельность по программированию должна быть тесно связана с разработкой конкретных численных алгоритмов.

    Наконец, в качестве пятого этапа вычислительного эксперимента можно выделить анализ полученных численных результатов и последующее уточнение математической модели. Может оказаться, что модель слишком груба – результат вычислений не согласуется с физическим экспериментом, или что модель слишком сложна, и решение с достаточной точностью можно получить при более простых моделях. Тогда следует начинать работу с первого этапа, т. е. уточнить математическую модель, и снова пройти все этапы.

    Следует отметить, что вычислительный эксперимент – это, как правило, не разовый счет по стандартным формулам, а прежде всего расчет серии вариантов для различных математических моделей.

    Т.о. численные методы решение задач  в последнее десятилетие благодаря  совершенствованию ЭВМ получают всё большее применение в различных отраслях науки и техники.  

    1. Общая теоретическая часть

    1.1. Действия с приближенными величинами.

    Прикладные  математические методы оперируют числами. Но при изучении сложных природных  систем встречаются такие величины, точное значение которых неизвестно. В таких случаях принято говорить, что используются приближенные числа или величины. При работе с ними можно использовать разное число десятичных знаков. Ни к чему записывать результат измерения или вычисления с точностью, превышающей точность исходных данных или точность самого метода. Так, если расстояние между двумя точками 120м измерено с точностью 1 метр, а время  11с – с точностью 1с, то значение скорости 120/11 = 10,9м/с неправильно – следует результат округлить и записать V = 11м/с.

    Как правило, если отбрасываемая цифра  равна 5, первую из остающихся увеличивают  на 1, за исключением того случая, когда  она сама появилась в результате округления "вверх".

    Приближенные  числа всегда имеют некоторую погрешность, или ошибку. Различают абсолютные и относительные ошибки. Абсолютной ошибкой e' приближенной величины называют разность между ее точным (A) и приближенным (X) значениями:

    e' = A – X

    Размерность e' совпадает с размерностью исследуемой  величины. Относительной ошибкой "e" называют отношение абсолютной ошибки к точному значению величины. Ее размерность – доли единицы или проценты. Так как точное значение, как правило, неизвестно, вместо него используют приближенное:

    e = e'/X

    Из  сказанного следует практический вывод.

    Если абсолютная ошибка приближенного числа мала по сравнению с его величиной, относительная ошибка мала по сравнению с единицей. На практике абсолютную ошибку обычно считают равной точности самого метода, так как она не может превышать последнюю. Не следует забывать также о том, что ошибка может иметь разный знак. При записи приближенного числа нужно указывать только верные цифры, а также те, которые получились в результате округления, при необходимости можно ввести множитель в виде десяти в соответствующей степени.

    При измерениях физических величин неизбежны  погрешности измерения

    Погрешность измерения – оценка отклонения величины измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.

    Поскольку выяснить с абсолютной точностью  истинное значение любой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. При этом за истинное значение принимается среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись Х = 2,8 ± 0,1 означает, что истинное значение величины Х лежит в интервале от 2,7 до 2,9 с некоторой оговоренной вероятностью.

    По форме представления погрешности классифицируются: