Как возникло и развивалось понятие функции

  Интерес к разрывным функциям не ограничивался  Францией. Активнейшую роль в этих исследованиях играли русские математики. Глубокие свойства разрывных функций открыли Д. Ф. Егоров (1869—1931) и И. Н. Лузин (1883—1950).^рв^зин стал основателем московской школы теории функций действительного пере-

менного,    которую    ее    участники    называли    «Лузита-нией».

  Функции, отображения и соответствия. Но и  определение функции, восходящее к Лакруа и Фурье, Лобачевскому и Дирихле, стало казаться математикам второй половины XIX века недостаточно строгим и общим. Изощренные в исследовании функций, не заданных никаким аналитическим выражением, функций, нигде не имеющих производной, они подвергли сомнению слова «переменная величина», входившие в это определение.¹ Ведь понятие переменной величины было не столько ма-тематическим, сколько физическим, его трудно было пояснить, не прибегая к наглядным образам. А главное, это определение говорило лишь о числах, о соответствиях между числами. Но если отказаться от аналитического задания функций, то можно рассматривать соответствия между любыми объектами. Ведь даже когда дают имена вещам, то устанавливают соответствие между множеством вещей и множеством имен. А при вычислении площадей фигур, длин линий, объемов тел устанавливают соответствия между геометрическими фигурами и числами.

  Столь общий подход к понятию функции, при котором отождествляются понятия функции, отображения, оператора, мог возникнуть лишь после того, как во второй половине XIX века было введено общее понятие множества. И именно творцы теории множеств Г. Кантор (1845—1918) и Р. Дедекинд (1831 — 1916) дали общее определение  отображения.  Его  можно сформулировать:

  Пусть X и У — два множества; говорят, что задано отображение f множества X в множество У, если для каждого элемента х из X указа» соответствующий ему элемент у из У. Этот элемент у называют образом элемента х при отображении f и обозначают f(x). Таким образом, числовые функции числового аргумента являются отображениями одного числового множества в другое. Введение в математику общего понятия об отображеиии множеств позволило прояснить и ряд вопросов, относя-щихся к функциям, например уточнить, что такое обратная функция, сложная функция и т. д.

В начале XX века на базе теории функций возникла новая    ветвь    математики — функциональный  анализ В нем изучают множества, состоящие  из функций, по-следовательностей, линий, в которых определены опера ции сложения и умножения на числа. Эти операции обладают свойствами, похожими на свойства операций над векторами. Однако в отличие от нашего пространства, имеющего лишь три измерения, изучаемые в функциональном анализе пространства могут быть бесконечномерными. Это не мешает специалистам по функциональному анализу применять в своих исследованиях геометрический язык.

  В функциональном анализе спокойно говорят  об ортогональных системах функций, обобщая тем самым на функции привычное понятие перпендикулярных (ортогональных) векторов, разлагают по таким системам функций любую другую так же, как геометры разлагают векторы по базисным векторам, используют понятие расстояния точки от гиперплоскости и т. д. Это использование геометрического языка позволяет делать наглядными применявшиеся ранее методы математического анализа, использовать геометрическую интуицию для решения тех проблем, где ранее ей не было места.

  Разумеется, тот факт, что работать приходится в бесконечномерном пространстве, налагает свой отпечаток и приводит к тому, что для некоторых построений функционального анализа нет аналогов в обычной геометрии. Например, известный американский математик Н. Винер построил в бесконечномерном пространстве спираль, для которой касательные, проведенные в любых двух точках, перпендикулярны друг другу. Но несмотря на причудливость такого геометрического образа, он оказался очень полезным при изучении столь важного для практики раздела математики, как теория случайных процессов.

  Хотя  функциональный анализ кажется очень  абстрактной наукой, он находит многочисленные приложения в вычислительной математике, физике, экономике, позволяя с единой точки зрения трактовать самые различные вопросы и вскрывать геометрическую сущность проблем, которые на первый взгляд очень далеки от геометрии. Говоря о связи абстрактной науки с практикой, видный математик Р. Курант (1888—1972) писал:

  «Мы стартуем с Земли и, сбросив балласт  излишней информации, устремляемся на крыльях абстракции в заоблачные высоты, разреженная атмосфера которых облегчает управление и наблюдение. Затем наступает решающее испытание — приземление; теперь нужно установить, достигнуты ли поставленные цели...»

А Лебег говорил: ■

  «Те люди, которым мы обязаны отвлеченной  научной! мыслью, могли, занимаясь абстрактными вещами, делать; тем не менее полезное дело, именно потому, что они| имели особенно обостренное чувство действительности».;

  В XX веке понятие функции подверглось дальнейшим; обобщениям.   Возникло   понятие   функции,   отражавшее, свойства физических.величин, сосредоточенных в отдельных точках,  на линиях или  поверхностях.  Потребности_; физики привели к изучению функций, принимавших слу-чайные значения  (например, числа телефонных разгово-J ров, состоявшихся  в течение данного  промежутка  вре-. мени).  Но методы  математического анализа  позволили; справиться и с проблемами теории случайных функций,' нашедшей многочисленные приложения в физике и технике.