Как возникло и развивалось понятие функции

  При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. При этом операциям над величинами соответствовали операции над буквами. Теперь уже для преобразования одной зависимости в другую не надо было писать громоздкие пропорции, изучать подобные треугольники и преобразовывать геометрические фигуры. Достаточно было по твердо установленным правилам  делать  алгебраические  преобразования,  причем все эти преобразования производились в общем виде.

  Кривые  и уравнения. Отношения между известными и неизвестными величинами Декарт выражал в виде уравнений. Чтобы наглядно изображать уравнения, он заменял все величины длинами отрезков. По сути дела, здесь была заложена идея метода координат. Как уже говорилось, еще греческие астрономы задавали положение звезд на небесной сфере долготой и широтой. Но лишь Декарт начал геометрически изображать не только пары чисел, а и уравнения, связывающие два числа. Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями пришел другой французский математик — Пьер Ферма (1601 —1665). Он был советником тулузского парламента и занимался математическими исследованиями лишь в свободное время. Тем не менее Ферма получил ряд первоклассных результатов  в теории  чисел  и  в других  областях  математики.

  После работ Декарта и Ферма возникла аналитическая геометрия — новая ветвь математики, в которой линии изучались не геометрическими методами, а путем исследования их уравнений.

  Алгебраические  и трансцендентные кривые. К началу XVII века математики знали такие кривые линии, как эллипс, гиперболу, параболу и т. д. Однако в то время еще не было общего метода изучения линий, и потому исследование каждой кривой превращалось в сложную научную работу.

  Открытия  Декарта и Ферма дали в руки математиков метод для получения и изучения новых кривых — надо было написать уравнение кривой и делать выводы, исследуя это уравнение. Сам Декарт в 1638 году придумал новую кривую, уравнение которой имеет вид х в 3+ + у³—Заху = 0, а>0 (рис. 1). Ее сейчас называют декартовым листом. Любопытно, что хотя Декарт применял уже в своей алгебре не только отрицательные, но даже мнимые числа, он не рассматривал отрицательных значений координат. Первоначально декартов лист считали симметричным относительно осей координат (рис. 2), т.е. изображали линию |х|³+|у|³—За|ху|=0. Окончательно форма кривой была установлена лишь через полстолетия X. Гюйгенсом (1629—1695) и Иоганном Бернулли  (1667—1748).

Декартов лист,  эллипс,   гипербола,   парабола   являются алгебраическими кривыми. Так называют кривые, уравнение которых имеет вид Р(х, у) = 0, где Р(х, у) — многочлен от х и у. Но уже Галилей и Декарт изучали циклоиду — кривую, описываемую точкой обода колеса, катящегося без скольжения по прямой дороге (или, говоря математически, траекторию точки окружности, катящейся без скольжения по прямой линии). Эта кривая состоит из бесконечного числа арок, каждая из которых соответствует полному обороту колеса (рис. 3). Можно доказать, что уравнение одной арки циклоиды имеет вид Так как в это уравнение входит обратная тригонометрическая функция, циклоида не является алгебраической кривой.

             Рис 1                         рис 2                                              рис 3

  К неалгебраическим кривым нельзя было применять алгебраические методы, разработанные Декартом. Поэтому их назвали трансцендентными кривыми (от латинского «трансценденс» — выходящий за пределы). Некоторые трансцендентные кривые были известны еще древнегреческим математикам. Например, в связи с задачей о спрямлении окружности (построении отрезка, длина которого равна длине этой окружности) Архимед построил особую спираль, определив ее на языке механики как траекторию точки, совершающей равномерное и поступательное движение по лучу, который в это же время равномерно вращается вокруг своего начала (рис. 4).

  Другие  кривые кинематического происхождения  приходилось рассматривать астрономам. Как известно, великий астроном древности Птолемей, пытаясь объяснить движение планет по небу, придумал сложную систему мироздания. Он считал, что в центре Вселенной находится Земля; а планеты равномерно вращаются по окружностям, центры которых, в свою очередь, равномерно вращаются вокруг Земли. Если начертить эти траектории, то появятся возвратные движения и петли, которые и хотел объяснить Птолемей. Следует отметить, что при более точном изучении выявились расхождения между теорией Птолемея и наблюдениями, а потому пришлось вводить третьи окружности, а там и четвертые. В результате   получилось  нагромождение   окружностей,   в   котором невозможно было разобраться. Король Альфонс X, которому попытались объяснить систему Птолемея, сказал: «Жаль, что меня не было, когда бог творил мир: я посоветовал бы ему сделать мироздание проще». Столь непочтительное заявление чуть не стоило ему короны — его обвинили в богохульстве.

  Но не только «небесные» причины заставляли математиков изучать различные кривые. Со многими кривыми приходилось иметь дело и в связи с вполне земными заботами. Картографы интересовались формой меридианов и параллелей при различном выборе проекции земного шара на плоскость, мореплаватели — линией, по которой, корабль пересекает все меридианы под одним и тем же углом, инженеры — очертаниями зубчатых колес, кулачковых механизмов и других деталей машин, а также винтовыми кривыми и поверхностями и т. д.

  Например, архимедова спираль позволяет преобразовать равномерное вращательное движение в равномерное возвратно-поступательное движение. Для этого надо изготовить эксцентрик, профиль которого состоит из двух дуг архимедовой спирали (рис. 5). При равномерном вращении этого эксцентрика стержень NM, скользящий концом по его профилю, равномерно движется то вверх, то вниз (у архимедовой спирали расстояние ОМ пропорционально величине угла поворота).

              Рис4                                                 рис 5                                           рис 6

У такого эксцентрика  есть недостаток — из-за заострений в точках пересечения спиралей скорость движущейся точки меняется при изменении направления скачком, что приводит к ударам и быстрому разрушению машины. Поэтому предпочитают гладкие эксцентрики, очерченные по так называемой улитке Паскаля. Она получается, если из точки О, лежащей внутри окружности, опустить перпендикуляры на каждую 
касательную к окружности и взять кривую, состоящую из оснований этих перпендикуляров (рис. 6). Если очертить эксцентрик по улитке Паскаля, то скорость будет меняться плавно, причем равномерное вращательное   движение    эксцентрика    преобразуется    в    гармонические    колебания стержня (относительно таких колебаний см. с. 155).

  После того как были открыты логарифмы, стали  изучать свойства графиков логарифмической и показательной зависимостей. Задачи механики требовали отыскания формы провисшего каната (так называемой цепной линии). Поиски кривой, длина дуги которой пропорциональна разности длин векторов, проведенных в ее концы, привели к открытию логарифмической спирали. В течение XVII столетия было открыто больше кривых, чем за всю предшествующую историю математики, и по-надобились общие понятия, которые позволили бы единым образом трактовать и изучать как алгебраические, так и трансцендентные кривые, как тригонометрические, так и логарифмические зависимости. Выработка этих общих понятий, а именно понятий производной, интеграла и бесконечного ряда, ознаменовала новый этап математики — открытие дифференциального и интегрального исчислений. Об этом будет изложено позже, а здесь расскажем, как было введено общее понятие функции и какие изменения оно потом претерпело.

  Рождение  термина. После того как в науку вошли переменные величины, были изучены траектории движущихся точек, расцвела вычислительная математика и была создана буквенная алгебра внимание ученых обратилось к изучению соответствий между величинами. С помощью координат удалось изобразить эти соответствия графически. Математика стала языком естествознания, причем в формулировке законов природы использовали не только алгебраические, но и тригонометрические функции.