Как возникло и развивалось понятие функции

  В своей  «Геометрии» Декарт писал: «Придавая  линии¹ у последовательно бесконечное множество различных значений, мы найдем также бесконечное количество значений х и, таким образом, получим бесконечное количество различных точек...; они опишут требуемую кривую линию». Здесь ясно выражена идея функциональной зависимости величин у и х, идея геометрического выражения этой зависимости, или, как мы сказали бы теперь, графика функции.

Но у Декарта, как и у его современников, понятие функции было изложено на языке геометрии или механики. Это объясняется тем, что запас функций, которые использовали в то время математики для выражения физических законов, был очень узок. Даже логарифмы воспринимались лишь как средство вычислений, а не как значения логарифмической функции. Чтобы охватить с единой точки зрения различные случаи зависимости величин друг от друга, понадобилось новое, весьма общее понятие.

  В науке  часто бывает так, что ученые длительное время применяют в неявном виде некоторое понятие. Однако из-за отсутствия названия оно встречается под 
различными личинами, а одни и те же рассуждения повторяются каждый раз заново. И лишь когда оно получает имя, все замечают, что уже давно работали с ним. Так случилось, например, с терминами «предел», «отображение», а на нашей памяти с такими понятиями, как «обратная связь», «информация» и т. д. Введение нового 
термина приводит к уточнению соответствующего понятия, освобождению его от всего случайного и несущественного, к выяснению общности рассуждений, проводившихся независимо друг от друга в различных областях науки. 

  Так случилось  и после того, как в конце  XVII века Лейбниц (1646—1716) и его ученики стали применять термин «функция». Вначале этот термин употребляли еще в очень узком смысле слова, связывая лишь с геометрическими образами. Речь шла об отрезках касательных к кривым, их проекциях на оси координат и о «другого рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию» (от латинского «функтус» — выполнять). Таким образом, понятие функции еще не было освобождено от геометрической формы.

  Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов, знаме-нует новую эпоху в изучении функций.

Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбница и его школы, но и на исследования великого математика и физика Исаака Ньютона (1643—1727), который изучил колоссальный запас самых различных функциональных зависимостей и их свойств. Вместо слова «функция» Ньютон применял термин «ордината». Он сводил изучение геометрических и физических зависимостей к изучению этих «ординат», а сами «ординаты» описывал   различными   аналитическими   выражениями.

  Чтобы определение  функции, данное И. Бернулли, стало полноценным, надо было условиться, какие способы задания функций следует считать допустимыми. Обычно считали, что допускаются функции, заданные выражениями, в которые входят числа, буквы, знаки арифметических действий, возведения в степень и извлек чения корней, а также обозначения тригонометрических} обратных тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Такие функции называли элементарными. Вскоре выяснилось, что интегралы от них не всегда выражаются через элементарные функции. В связи с этим пришлось добавить новые функции, получающиеся при вычислении интегралов от элементарных функций, при решении дифференциальных уравнений и т.д. Многие из этих функций нельзя было явно выра-зить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков XVIII века Леонард Эйлер (1707—1783), вводя в своем учебнике понятие функции, говорит лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых». В одной из работ он даже говорит о графике функции как о кривой, начерченной «свободным влечением руки».

  Книги Эйлера содержат результаты исследований Лейбница и его учеников, а также многочисленные результаты самого автора (полное собрание сочинений Эйлера состоит из нескольких десятков громадных томов). Они сыграли важную роль в освобождении математического анализа от языка геометрии и механики. В них впервые теория тригонометрических функций была изложена без ссылки на геометрию, а показа-тельная и логарифмическая функции стали равноправными с алгебраическими. Все книги Эйлера пронизывает идея, что математический анализ есть наука о функциях, что «весь анализ бесконечно малых вращается вокруг переменных количеств и их функций».

Спор  о функции. К середине XVIII века ученые решили многие задачи механики, связанные с движением отдельных  точек.  Математикам   и  астрономам  удалосьточно предсказать год, когда на небе вновь засияет комета Галлея. До этого астрономы могли предсказывать лишь лунные и солнечные затмения, да и то не путем вычислений, а на основе предшествующих наблюдений. Эйлеру удалось справиться с труднейшей задачей о движении Луны, которую давно мечтали решить многие математики,— от этого решения зависело точное вычисление долгот, необходимое для мореплавателей. Хотя не все задачи механики точек были решены (а некоторые из них, например задача о движении трех точек, притягивающих друг друга по закону Ньютона, не решены и поныне), в центре внимания математиков оказались проблемы механики сплошных тел: колебания струн, мембран и стержней, распространение волн в жидкостях и газах, тепла в стержнях и кольцах и т. д. Простейшей из этих проблем было изучение колебаний струны. Их закон определяется функцией двух переменных u = f(x, t), показывающей отклонение точки с координатой х в момент времени t. Решая эту задачу, Эйлер доказал, что если вначале все точки струны находились в состоянии покоя, а колебания вызваны отклонением струны от положения равновесия, то решение имеет вид

Здесь ф(х) —отклонение  струны  в  точке  х  при   t = 0, ф{х)=и(х, 0).      

  За год  до Эйлера такое же решение получил  иным способом французский математик Даламбер (1717— 1783). Между Эйлером и Даламбером вспыхнул спор о том, как надо толковать найденное ими решение. Дело в том, что первоначальное отклонение струны могло на различных участках задаваться различными выражениями. Например, если приподнять струну за середину, то она примет вид равнобедренного треугольника (рис. 7), и функция будет выражаться так:

Эйлер  считал  эту  форму  задания  начального  условия законной и полагал, что найденное им решение относится и к таким случаям. Даламбер же требовал,