Логика

     Основы  классической логики высказываний. КЛВ строится как исчисление простых высказываний: а, в, с. В язык логики высказываний входят знаки логических связок и технических символов (например скобок). Базовые понятия КЛВ: отрицание -  логическая операция которая меняет значение истинности высказывания на противоположное. Конъюнкция – это сложное высказывание, которое истинно е.т.е оба члена являются истинными. Дизъюнкция  - это сложное высказывание, которое истинно е.т.е истинен хотя бы один член. a V b = ¬ (¬a ^¬b). Эти формулы называются законами Де Моргана. Импликация  - сложное высказывание которое ложно е.т.е основа импликации истинна, а ее следствие ложно. a → b = ¬ a V b; a V b = ¬ a → b. Эквиваленция – сложное высказывание которое истинно е.т.е оба члена принимают одинаковое значение. Типы формул: 1. общезначимые - ; 2. нейтральные – это выражения которые хотя бы при одном наборе переменных принимает значение истина и хотя бы при одном наборе переменных принимает ложь. 3. невыполнимые – при любом наборе переменных принимает значение ложь. Рассуждения построенные по схеме общезначимых выражений являются правильными, а если такое выражение содержит импликацию, то заключения в них будут истинны при условии истинности посылок (основание) ((a → b) ^ a) → b. Ср-ва ЛВ позволяют анализировать рассуждения. Для этого надо: 1. представить рассуждение на языке ЛВ.2. Проверить получившееся выражение на общезначимость. Если оно общез-мо, то рассуждение построено правильно. 3. если рассуждение построено правильно, то необходимо удостовериться в истинности посылок. Но это не м/б сделано ср-ми ЛВ, 
 

     Многозначные  логики. Здесь отвергается принцип двузнач-ти и считается, что суждения м/б не токо истинными или ложными, но и принимать др значения. В 1920 Лукасевич создал 3-хзначную логику: истина -1; ложь-0; неопр-ть – ½. Тавтологией считается формула принимающая значение ист. Отриц-е вычисляется по формуле N(x) = 1-[x]. Конъюнкция и дизъюнкция определялись обычным образом по min и max значений переменных. Из матрицы импликации Лукасевича вычленяется матрица классической импликации. 1921 Пост м-значная логика. истинность – 1, ложь – m. В системе Поста действуют 2 отрицания: 1. задается 2-мя рав-ми: N(x) = [x]+1, при x≤m-1; N(m)=1. 2. N(x) = m-[x]+1. При m = 2 оба отрицания совпадают и превращаются в отрицание классической логики. Конъюнкция и дизъюнкция определяются как min и max значений переменных. Импликация по формуле [a → b] = [¬ a V b]. При m = 2 мы получаем классическую логику, при m = 3 и более нклассич. a ↔ b = (a → b) ^ (b → a). закон исключенного 4-го для 1-го отрицания. Больш-во многозначных логик конечны. Но Лукасевич создал бесконечнозначную логику. М – матрица Лукасевича иммет вид: M = <V, ~, →,{1}>; где V – множ-во рациональных чисел на отрезке от 1 до 0; ~ - унарная операция отрицания; → бинарная операция импликации; {1} – выделенные значения который принимает тавтология. ~x = 1 – [x] – отрицание; x→y = min(1, (1-x) + y) – импликация; x^y= min[x],[y] – конъюнкция; xVy= max[x],[y] – дизъюнкция.  
 

     Модальная логика . 1918 Льюис назвал ее системой S3. 1932 формулирует еще 5 модальных систем S1, S2, S4, S5, S6. чтобы построить модальное исчисление необходимо взять за основу либо уже существующие ассерторическое исчисление, либо создать новое. Обычно в этом кач-ве используется классическая логика высказываний. Поэтому в модальные исчисления войдут исходные символы, логические связки, аксиомы и правила вывода ассерторических исчислений высказывания. Затем необходимо добавить модальные операторы, т.е. символы обозначающие модальные понятия а также определенные постулаты выраж-й соотнош-я м/у ними. □ а – необходимо а; ◊ а – возможно а; а – действительно а. тогда отношение м/у модпльностями м/б выражено аксиомами: 1. □ а → ~◊ ~а; 2. □ а→◊ а; 3. ◊ а→а; 4. а → ◊ а; 5. ~◊ а → ~а; 6. ~а → ~□ а; 7. ~◊ а → ~□ а. З а – запрещено а; Р а – разрешено а; О а – обязательно а. Аксиомы: 1. ~За → Ра; 2. Оа → ~Р~а; 3. ~Оа → Р~а; 4. За → О~а; 5. Оа → З~а.  
 

     Паранепротиворечивая  логика – это направление в рамках которого появление бинарного противоречия в рассуждениях определенного вида считается неизбежным и потому допустимым. Прежде всего это касается теоретических рассуждений в науке на стадии формирования гипотез и теорий. Классический принцип выведения из противоречия любого утверждения противоречит обыденному и научному мышлению. Паранепротиворечивая логика запрещает выводить из противоречия все что угодно. И след-но обнаружение противоречия в теории не заставляет нас сразу же отказаться от этой теории. Строгое опред-е паранепр-й логики: Допустим, что имеющийся у нас язык дедуктивной теории Т содержит в себе символ отрицания. Т называется противоречивой теорией е.т.е в Т имеются 2 теоремы одна из которых отрицает другую. В противном случае Т считается непротиворечивой. Т считают тривиальной е.т.е все формулы или все высказывания языка Т явл-ся также теоремами Т. В противном случае мы называем Т не тривиальной. Система логики паранепротиворечива если она может использоваться как логика лежащая в основе противоречивых, но не тривиальных теорий. Должен отсутствовать закон не допустимости противоречия. Предшественником такой логики явл Васильев. Он создал воображаемую логику, в которой допускал существование противоречия. Он утверждал, что не все логические истины абсолютны. Таковы токо аналитические истины вытек-е из самого определения логического мышления. Сущ-ть логического – это отн-е логического следования м/у суждениями. В воображаемой логике присутствует 3 вида суждений по кач-ву: 1. утвердительные S есть P ; 2. отрицательные S не есть P ; 3. индиффирентные суждения со стр-рой S есть P и не P. В суждении 3-го вида появление противоречия  прямо допускается.  
 

     Ошибки  связанные с неправильным употреблением оборотов речи. Смысловые ошибки.1. Слова и выражения не точно передают значение. Многие ошибки основаны на многозначности языковых выражений, когда одно и то же слово употребляется в разных значениях. В силлогизмах эта ошибка называется учетверение терминов. 2. Др ошибки возникают когда одним словом называются разные явления. 3. Многие ошибки и др софизмы основаны на неправильном соединении или разделении слов. К примеру когда не проводится различие м/у способностью к действию и реальным действием. 4. ошибки возникают тогда, когда собирательные имена употребляются в несобирательном смысле или наоборот.5. ошибки основанные на сознательном или непреднамеренном сужении или расширении содержания понятий. Часто это остается не замеченным. 

     Ошибки  связанные с нарушением правил логической грамматики. Токо осмысленные предложения м/б ист или лож. Чтобы быть осмысленным пред-ие д/состоять из правил логической грамматики, кот создал Рассел для выявления и разрешения логических парадоксов. Теория типов основывается на идее иерархии объектов, свойств и отношений, на выделении их различных уровней (порядков). К нулевому типу относятся индивидуальные объекты не являющиеся множ-ом. К 1-му типу относ множ-во предметов нулевого типа. Они выделяются на основе св-в и отношений первого порядка. Затем идут множ-ва, которые выделяются на основе свойств свойств, т.е на основе 2 порядка. Различают простую и развернутую теорию типов. Развернутую используют  в рамках логики предикатов. Здесь по-мимо нулевого порядка выделяют еще 6 порядков. 1. св-ва и отношения предметов; 2. свойства свойств; 3. свойства отношений; 4. отношения м/у свойствами; 5. отношения м/у отношениями; 6. отношения м/у свойствами и отношениями. Для анализа естественного языка достаточно использовать простую теорию типов. Здесь нивелируется различие м/у свойством и отнош-ем в рамках понятия признак. Поэтому принято говорить о признаке предмета, признаке признака, признаке признака признака и т.д. здесь кол-во порядков потенциально бесконечно. Эта теор. наклад. опред. огранич. на конструирование предложений: св-ва и отнош-я можно приписывать предметам; св-ва св-в можно припис св-вам ; св-ва св-в св-в можно припис вс-ам св-в и т.д. Но нельзя припис св-ва св-в самим предметам. Нельзя заключать об отсутствии св-ва у предмета на основе отсутствия этого св-ва у св-ва этого предмета. Еще ошибка связана с перенесением названия или св-ва целого на его части или наоборот. Св-ва принадлеж целому, но не принадлеж частям принято называть эмерджент-ми. Согл. теор.эмержентн. эволюции можно выделить различ. ур-ни сущ-я (материя, психика…). У кждого более высшего Ур-ня есть св-ва кот не принадлежат низшему. Они назыв эмерджентными 
 

 Лемматические (усл-разделительные) ум.з. Дилеммы.

 Это ум-з, где одна посылка сост из 2х  и более условных суждений, а др- явл разделительным суждением. В  зависимости от числа членов в  разделительной посылке, эти ум-з делятся на:

 - делеммы:  конструктивные и  деструктивные.

 - трилеммы.

 - полилемы.

 В свою очередь, конструктивные делеммы подраздел на:

 - простые – сост из 2х посылок, где в 1й утверждается, что из 2х оснований вытекает одно и то же следствие. Во 2й (разделительной) – утв, что по крайней мере одно из этих оснований присутствует (истинно), а знач. с необходимостью присутствует и следствие.

 a→c

 b→c

 a / b  ('/) 

 c

 - сложные – в 1й посылке утв-ся 2 следствия, вытекающие из 2х различных оснований. А во 2й – утвержд присутствие (истин) по крайней мере одного из этих оснований, а знач. присутствует (ист) по крайней мере одно из названных следствий.

 a→b

 c→d

 a /  c

 b / d

 Т.о, в конструкт дилемме осущ переход  от утверждения оснований к утверждению их следствий.

 Деструктивные дилеммы так же мож подразделить на:

 - простые – в 1й условной посылке указ, что из одного основания вытекает 2а различных следствия. Во 2й – говорится, что по крайней мере одно из этих следствий отсутствует (лож), а знач. основание тоже лож. Т.е. основана на переходе от отрицания следствий к отрицанию оснований.

 a→b

 a→c

 не b '/  не c

 не a

 - сложные – в 1й посылке содержится 2а условных суждения с разными основаниями и разными следствиями. А во 2й разделительной посылке говорится об отсутствии по крайней мере одного из этих следствий, а знач. отсутствует по крайней мере одно из названных оснований.

 a→b

 c→d

 не b '/ не d

 не a '/  не c 
 
 

 Демонстративн и правдоподобные ум-з.

 Ум-з  – это форма мышления, в рамках котророй из 1/неск исходных суждений, называемых «посылками» по определ правилу получ новое суждение, называемое «заключением». Логич переход от посылок к заключению принято называть «правилом вывода». Последнее считается верным, если применяя это правило, мы из истинных посылок всегда получим ист заключение.

 Ум-з  дел на виды по различным основаниям:

ПО  КОЛ-ВУ ПОСЫЛОК:

- непосредственные – из 1 посылки.

- опосредованные – из 2х и более посылок.

ПО  НАПРАВЛЕНИЮ ДВИЖЕНИЯ МЫСЛИ:

- дедуктивные - ум-з, в рамках которых мы переходим от общего к частному, те от знания з-ов и правил к знанию частных случаев, подпадающих под действие этих з-ов и правил.

-   индуктивные – от частного к общему, те от знания частных случаев к-л класса к знанию обо всех эл-ах этого класса.

- по аналогии – движение от частного к частному, те из сходства объектов в к-л признаках, мы делаем заключ об их сходстве в др признаках.

ПО  ХАР-РУ ЛОГИЧЕСКОГО  СЛЕДОВАНИЯ:

- демонстративные (дедуктивные), где при истинности посылок и верности правила вывода, истинность заключения гарантируется.

 Сюда  относятся: