Лабораторная по ЭММ

Всероссийский Заочный Финансово – Экономический  Институт 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа 

по дисциплине «Экономико-математические методы

и прикладные модели» 

Вариант № 9  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                      Специальность: Маркетинг 

       Студент: Полубояринов М.С. 

                                                                            Преподаватель: Степович М.А. 
 
 
 
 
 
 

2010 г.

Задача 1 

    При производстве двух видов продукции  используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице.

                                                                                                                Таблица 1

 

    Прибыль от реализации одной единицы продукции  первого вида составляет 2 ден. ед., второго  вида – 3 ден. ед..

    Задача  состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от её реализации.

    Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к её элементам  и получить решение  графическим методом. Что произойдёт, если решить задачу на минимум и почему? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Решение

    Имея  данные о прибыли от реализации каждого  вида продукции, преобразуем Таблицу 1 в Таблицу 2.

    Таблицу 2

 

1. Составим  ЭММ задачи.

    Пусть  х₁ и х₂  - количество товара 1-го и 2-го видов, необходимые для получения максимальной прибыли. Тогда ЭММ будет иметь вид:

    F(X)= 2x₁ +3x₂ → max, при ограничениях в количестве ресурсов.

    X = (x₁;x₂) – вектор, при котором F(X) → max и выполняются ограничения

    

    х₁ ≥ 0,  х₂ ≥ 0.

2. Решим полученную задачу линейного программирования графическим методом.

Построим  ОДР задачи. Условие неотрицательности определяют полуплоскости с граничныим прямыми х₁=0 и х₂=0 соответственно.

    Линейное  уравнение описывает множество  точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую  область на плоскости. Определим, какую  часть плоскости описывает неравенство

  а) ;

;   

    

    Построим  прямую . Она проходит через точки (0;6) и (6;0). Для того чтобы определить, какая плоскость удовлетворяет неравенству, необходимо выбрать любую точку не принадлежащую прямой. Выберем точку начала координат (0;0), подставим в неравенство и получим 0≤12. Данное утверждение является верным, следовательно неравенству соответствует нижняя полуплоскость.

    Аналогично  определяем плоскости по другим ограничениям.

    б)                    в)                   г) 

    Пересечение этих нижних полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим  неравенством системы и удовлетворяет  условиям неотрицательности, определяет  многоугольник  ОАВСД. Координаты любой точки, принадлежащей области определения, являются допустимым решением задачи. (Рис 1)

    Для нахождения максимального значения целевой функции при графическом  решении задачи линейного программирования используют вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции.

    

    Этот  вектор показывает направление наискорейшего  изменения целевой функции. Прямая 2х₁+3х₂ = а (а – постоянная величина) перпендикулярна вектору-градиенту . Перемещая линию уровня в направлении этого вектора до тех пор, пока она не покинет пределов ОДР. Предельная точка области при этом движении и является точкой максимума, в нашей задаче это точка С (Рис 1). Для нахождения координат этой точки достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума.

     ;

Значение  целевой функции в этой точке  равно:

max f(X)= 2*4+3*2 = 14

3. Вывод: Прибыль предприятия будет максимальной и составит 14 ден.ед., если продукция 1-го вида будет выпускаться в количестве 4-х изделий, а продукции 2-го вида в количестве 2-х изделий.

 
 
 
 
 

 

Рис 1. Графическое  решение ЗЛП. 

    

4. Сформулируем  и решим двойственную задачу. Используя теоремы двойственности, решаем задачу на получение выручки от продажи ресурсов не менее суммы полученной при производстве продукции.

         Составим двойственную задачу  для исходной:

Z(Y) = 12y₁+8y₂+16y₃+12y₄ → min

При ограничениях:

Используя первую теорему двойственности имеем:

F(X*)=Z(Y*), т.е. оптимальные значения целевых функций совпадают.

Поскольку в оптимальном плане исходной задачи х₁*= 4; х₂*= 2 и выполняется условие неотрицательности,то по теореме о дополняющей нежесткости для двойственных оценок у₁* и у₂* имеет место равенство:

Y* = (0,5; 1; 0; 0)

Z(Y*) = 12*0,5+8*1+16*0+12*0 = 14

min Z(Y) = 14

Двойственные  оценки найдены правильно.

5. Экономический смысл задач.

    Прибыль предприятия будет максимальной и составит 14 ден.ед., если продукция 1-го вида будет выпускаться в  количестве 4-х изделий, а продукции 2-го вида в количестве 2-х изделий. Составив и решив задачу на минимум, получаем, что при оптимальной производственной программе и векторе оценок ресурсов производственные потери равны нулю. 
 
 

    Задача 2

      Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице:

                                                                                                                  Таблица 3

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный  план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти её оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

-  проанализировать  использование ресурсов в оптимальном  плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья 1 вида на 100 ед. и уменьшении на 150 ед. запасов сырья II вида;

-  оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., если нормы затрат сырья 2; 4 и 3 единицы. 
 

Решение 

1. Составим  ЭММ задачи.

    Обозначим количество выпускаемых изделий  А, Б, В, Г соответственно как х₁, х₂, х₃, х₄.  Имея ограничения по запасам сырья и зная нормы расхода ресурсов на изготовление изделий, а также цены готовых изделий и задачу максимизации прибыли – мы можем сформулировать математическую модель задачи линейного программирования.

    

    Решаем  задачу линейного программирования на ЭВМ с помощью табличного процессора MS Excel. Использование надстройки  «Поиск решение»  программного средства позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий Х*=(0; 0; 400; 550). Целевая функция имеет максимальное для данных условий задачи значение f(X*)=9000

    Следовательно, для получения максимальной выручки  от реализации готовой продукции следует производить 400 изделий В, 550 изделий Г и не производить изделия А (x₁*=0) и изделия Б (x₂*=0). Выпуск изделий А и Б невыгоден при данных условиях задачи.

2. С каждой задачей линейного программирования тесно связана  другая линейная задача, называемая двойственной. Используя теоремы двойственности, составим модель такой задачи. Обозначим двойственные оценки ресурсов I, II, III соответственно как y₁, y₂, y₃. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость используемых ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи соответствует числу переменных исходной задачи и равно 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид: