Контрольная работа по "Эконометрика"

    Y₁- среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;

    Y₂ – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.;

    X₁ - инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;

    X₂ – кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам;

    X₃ – среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.

    

    Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям  выявил наличие трёх территорий (г. Москва, Московская обл., Воронежская  обл.) с аномальными значениями признаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.

    При обработке исходных данных получены следующие  значения линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:

    N=15.

      Для проверки рабочей гипотезы №1.                              Для проверки рабочей

                                                                                                              гипотезы №2.

 

    Задание:

    1. Составьте систему  уравнений в соответствии  с выдвинутыми  рабочими гипотезами.

    2. Определите вид  уравнений и системы.

    3. На основе приведённых  в условии значений матриц коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений:

• определите бета коэффициенты (b) и постройте уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе;
• дайте сравнительную оценку силы влияния факторов на результат;
• рассчитайте параметры a₁, a₂ и a₀  уравнений множественной регрессии в естественной форме;
• с помощью коэффициентов парной корреляции  и b коэффициентов рассчитайте для каждого уравнения линейный коэффициент множественной корреляции (R) и детерминации (R²);
• оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность выявленных связей.

    4. Выводы оформите  краткой аналитической  запиской. 
 

 Решение:

    1. В соответствии с выдвинутыми  рабочими гипотезами о связи  признаков составим систему уравнений.  Коэффициенты при эндогенных переменных обозначим через b , коэффициенты при экзогенных переменных - через a. Каждый коэффициент имеет двойную индексацию: первый индекс – номер уравнения, второй – индивидуальный номер признака. Тогда:

    

    2. Особенность данной системы в том, что в первом уравнении факторы представлены перечнем традиционных экзогенных переменных, значения которых формируются вне данной системы уравнений. Во втором уравнении в состав факторов входит эндогенная переменная , значения которой формируются в условиях данной системы, а именно, в предыдущем уравнении. Системы уравнений, в которых переменные первоначально формируются как результаты, а в дальнейшем выступают в качестве факторов, называются рекурсивными. Именно с подобной системой уравнений имеем дело в данной задаче.

    3. Выполним расчёт b-коэффициентов и построим уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Для уравнения №1:

    

    

    По  полученным результатам построено уравнение в стандартизованном виде:

     

    По  данным первого уравнения сделаем  вывод, что кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам ( ) влияют на среднегодовую стоимость основных фондов в экономике ( ) слабее, чем объем инвестиций в основной капитал ( ), т.к. .

    Второе  уравнение можно построить на основе следующих результатов:

    

    

      Второе  уравнение в стандартизованной  форме имеет вид:  .

    Из  второго уравнения  очевидно, что  на стоимость валового регионального продукта более сильное влияние оказывает величина среднегодовой стоимости основных фондов в экономике, и менее сильное – среднегодовая численность занятых в экономике.

    4. Расчёт параметров уравнения  регрессии в естественной форме  даёт следующие результаты:

    

    

    По  полученным результатам построено уравнение №1 в естественной форме:

     .

    Параметры уравнения № 2 рассчитываются аналогичным образом. Но главная отличительная особенность их расчёта в том, что в качестве одного из факторов выступают не фактические значения , а его теоретические значения , полученные расчётным путём при подстановке в уравнение №1 фактических значений факторов и .

    Указанным способом рассчитаны параметры рекурсивного уравнения:

     ;

     ;

     .

    По  полученным результатам построено  уравнение №2 в естественной форме: .

    Представим  результаты построения уравнений в  виде рекурсивной системы:

    

    Значения  коэффициентов регрессии каждого  из уравнений могут быть использованы для анализа силы влияния каждого  из факторов на результат. Но для сравнительной  оценки силы влияния факторов необходимо использовать либо значения -коэффициентов, либо средних коэффициентов эластичности - , ,   и .

    5. Для каждого из уравнений системы  рассчитаем показатели корреляции и детерминации.

.

    В первом уравнении факторы  и объясняют 76,7% вариации стоимости валового регионального продукта, а 23,3% его вариации определяется влиянием прочих факторов.

    Во  втором уравнении переменные и объясняют 65,3% изменений заработной платы, а 34,7% изменений заработной платы зависят от прочих факторов. Обе регрессионные модели выявляют тесную связь результата с переменными факторного комплекса.

    6.Оценим  существенность выявленных зависимостей. Для этого сформулируем нулевые  гипотезы о статистической незначимости построенных моделей и выявленных ими зависимостей:

       и  .

    Для проверки нулевых гипотез используется F-критерий Фишера. Выполняется расчёт его фактических значений, которые сравниваются с табличными значениями критерия. По результата сравнения принимается решение относительно нулевой гипотезы.

    В нашей задаче:

     ; 

    Табличные значения F-критерия формируются под влиянием случайных причин и зависят от трёх условий: а) от числа степеней свободы факторной дисперсии - , где k – число факторных переменных в модели; б) от числа степеней свободы остаточной дисперсии - , где n – число изучаемых объектов; в) от уровня значимости , который определяет вероятность допустить ошибку, принимая решение по нулевой гипотезе. Как правило, значение берут на уровне 5% ( =0,05), но при высоких требованиях к точности принимаемых решений уровень значимости составляет 1% ( =0,01) или 0,1% (( =0,001).

    В рассматриваемой задаче для   и =0,05 составляет 3,88. В силу того, что нулевую гипотезу о статистической незначимости характеристик уравнения №1 следует отклонить, то есть . Аналогичное решение принимается и относительно второй нулевой гипотезы, т.к. . То есть, .Отклоняя нулевую гипотезу, допустимо (с определённой степенью условности) принять одну из альтернативных гипотез. В частности, может быть рассмотрена и принята гипотеза о том, что параметры моделей неслучайны, то есть формируются под воздействием представленных в моделях факторов, влияние которых на результат носит систематический, устойчивый характер. Это означает, что полученные результаты могут быть использованы в аналитической работе и в прогнозных расчётах среднегодовой стоимости основных фондов в экономике и стоимости валового регионального продукта, которые основаны не только на влиянии , но и на влиянии эндогенной переменной Рекурсивные модели связей предоставляют возможность подобного анализа и прогноза. 

    Задача 4.

    Предлагается  изучить взаимозависимость социально – экономических показателей региона.

     инвестиции  текущего года в экономику  региона, млрд. руб.;

     среднегодовая стоимость основных фондов в экономике  региона, млрд. руб.;

     стоимость валового регионального продукта региона, млрд. руб.;

     инвестиции  прошлого года в экономику  региона, млрд. руб.;

      темп роста производства промышленной продукции в регионе, %;

     среднегодовая численность занятых в экономике региона, млн. чел.;

    При этом сформулированы следующие исходные рабочие гипотезы:

    При этом сформулированы следующие исходные рабочие гипотезы:

    

    Задание:

    1. На основе рабочих гипотез  постройте систему структурных  уравнений и проведите их идентификацию;

    2. Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;

    3. Опишите методы, с помощью которых  будет найдено решение уравнений (косвенный МНК, двухшаговый МНК).

    Отличительной особенностью уравнений системы  является наличие прямых и обратных зависимостей между переменными  , и . Указанная особенность характерна для так называемых структурных уравнений. В состав структурных уравнений входят: а) эндогенные переменные , значения которых формируется в условиях данной системы признаков и их взаимозависимостей и б) экзогенные переменные , значения которых формируются вне данной системы признаков и условий, но сами экзогенные переменные участвуют во взаимосвязях данной системы и оказывают влияние на эндогенные переменные. Коэффициенты при эндогенных переменных обозначаются через , коэффициенты при экзогенных переменных обозначаются через , где i-число изучаемых объектов;  m – число экзогенных переменных, которые обычно обозначают  через x;  j - число эндогенных переменных, обычно обозначаемых через Y. Таким образом, в каждом уравнении системы каждый коэффициент при переменной имеет двойную индексацию: 1) - номер эндогенной переменной, расположенной в левой части уравнения и выступающей в качестве результата; 2) – номер переменной, находящейся в правой части уравнения и выступающей в качестве фактора.