Контрольная работа по "Эконометрика"

 

    Б) - коэффициентов частной корреляции

 

    Задание:

    1. По значениям линейных  коэффициентов парной  и частной корреляции  выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Проведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.

    2. Выполните расчёт  бета коэффициентов  (b) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов (b) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.

    3. По значениям b-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (a₁, a₂ и a₀). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности - .

    4. Оцените тесноту  множественной связи  с помощью R и R², а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F-критерий Фишера (для уровня значимости a=0,05).

    5. Рассчитайте прогнозное  значение  результата, предполагая, что  прогнозные значения  факторов составят  102,1 процента от их среднего уровня.

    6. Основные выводы  оформите аналитической  запиской. 

    Решение.

    1. Представленные в условии задачи значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что объем валового регионального продукта -Y более тесно связан со среднегодовой  стоимостью основных фондов в экономике - ( ) и с инвестициями 2000 года в основной капитал – X₁ ( ); наименее тесно результат Y связан с объемом кредитов, предоставленных в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам – . Поэтому, в силу небольшой информативности фактора , предполагаем, что его можно исключить из дальнейшего анализа. Проверим наши предположения с помощью анализа матрицы коэффициентов частной корреляции. Очевидно, что наиболее тесная связь результата Y с объемом кредитов, предоставленных в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам ( ) и среднегодовой стоимостью основных производственных фондов ( ) и менее тесно связан с объемом инвестиций 2000 года в основной капитал ( ). Поэтому для уточнения окончательного вывода выполним расчёт серии коэффициентов частной корреляции Y с двумя возможными комбинациями факторных признаков: для Y с и с X₃, а также для Y c и .

    Расчёты частных коэффициентов корреляции выполним по следующим формулам:

    

    =

    

    =

      

    Как видим, факторы X₁ и X₃, действительно, тесно связаны с результатом, и довольно сильно взаимодействуют между собой.

    Расчёт  аналогичных показателей по следующей  паре факторов приводит к иным результатам:

    

    =

    

    =

      

    В данном случае, межфакторное взаимодействие оценивается как тесное ( ). Таким образом, первая из рассмотренных пар факторных признаков (X₁  и X₃ ) в большей мере отвечает требованиям, предъявляемым МНК к исходным данным и, в частности, к отсутствию межфакторного взаимодействия. Указанные обстоятельства позволяют использовать X₁ и X₃ в качестве информативных факторов уравнения множественной регрессии.

    2. При построении двухфакторной регрессионной модели воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных. В этом случае исходное уравнение приобретает вид: . Выполним расчёт b-коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.

    

    

    Получим уравнение в стандартизированном  масштабе:

    

    Параметры данного уравнения представляют собой относительные оценки силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении инвестиций в основной капитал на одну сигму - (от своей средней) объем валового регионального продукта увеличится на 0,7612 своей сигмы ( ); с увеличением объема кредитов, представленных в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на результат увеличится на 0,4117 .Сравнивая b-коэффициенты, определяем, какой из признаков влияет на результат сильнее, а какой – слабее. В данном случае увеличение объема валового регионального продукта происходит, прежде всего, под влиянием объема инвестиций в основной капитал и в меньшей степени – в результате увеличения объема кредитов предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам.

    3. Используя значения b-коэффициентов, можно рассчитать параметры уравнения в естественной форме:

    

    

    

    В конечном счёте, имеем уравнение:

    

    По  значениям коэффициентов регрессии  можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу (от своей средней).

    С увеличением инвестиций в основной капитал на 1 млрд. руб. объем валового регионального продукта увеличивается на 2,140 млрд. руб., с увеличением объема кредитов предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 1 млрд. руб. объем валового регионального продукта возрастает на 8,665 млрд. руб.

    Точную  оценку силы связи факторов с результатом  дают коэффициенты эластичности и β - коэффициенты.

    4. Для сравнительной оценки силы связи выполним расчёт средних коэффициентов эластичности. С их помощью можно определить, на сколько процентов изменяется результат при изменении фактора на 1% (от своего среднего значения). В нашем случае расчёт показал, что влияние объема инвестиций в основной капитал на объем валового регионального продукта оказалось более сильным по сравнению с влиянием объема кредитов, предоставленных в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам: с ростом объема инвестиций на 1% объем валового регионального продукта увеличивается на 0,595 %, а при увеличении объема кредитов на 1% объем валового регионального продукта возрастает на 0,154 %. Различия в силе влияния весьма значительны: первый фактор влияет на результат в два с лишним раза сильнее, чем второй. Поэтому регулирование величины валового регионального продукта через объем инвестиций в основной капитал будет более результативным, чем через объём кредитов.

    5. Тесноту выявленной зависимости валового регионального продукта от инвестиций в экономику региона и от объема кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β - коэффициентов.

    В нашем случае 2-х факторной зависимости  расчёт строится следующим образом:

    Как показали расчёты, установлена весьма тесная зависимость объема валового регионального продукта от объема инвестиций в основной капитал и объема кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам. Это означает, что 75,9 % вариации розничного товарооборота определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 24,1 % вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна.

    6. Оценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. То есть,

    Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерий Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и остаточной дисперсий и их степеней свободы: d.f.₁=k и d.f.₂=n-k-1; где: n –число изучаемых единиц; k – число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k=2.

    

    В нашем случае, когда рассматривается  зависимость результата от двух факторов, расчёт выглядит следующим образом:

    

    Фактическое значение критерия показывает, что  детерминация, сформированная под воздействием двух изучаемых факторов, почти в 9 раз больше, чем детерминация, связанная с действием прочих причин. Очевидно, что подобное соотношение случайно сформироваться не может и является результатом влияния существенных, систематических факторов.

    Для принятия обоснованного решения  F_фактич. сравнивается с F_{табличн}., которое формируется случайно и зависит  степеней свободы факторной (d.f.₁  = k) и остаточной (d.f.₂ = n-k-1) дисперсий, а также от уровня значимости α=0,05. В нашем примере, где d.f.₁=k= 2 и d.f.₂=n-k-1 = 9-2-1=6 при α=0,05 F_табл = 5,14. В силу того, что F_фактич =9,44> F_табл. = 5,14, можно с высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы – согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.

    7. Техническая часть прогнозных расчётов по уравнению множественной регрессии сравнительно проста. Достаточно определить прогнозные значения каждого факторного признака , подставить их в уравнение и выполнить с ними расчёт прогнозного значения результата - . При этом следует помнить, что требования к точности и надёжности прогноза предъявляют к используемой модели повышенные требования. В нашем случае, прогнозное значение каждого из факторов, то есть и , получено на основе средней величины:

    

    

    После подстановки в уравнение  получаем следующий результат:

 млрд. руб.

    Если  инвестиции в основной капитал региона возрастут до 9,056 млрд. руб., а объем кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам составит 0,580 млрд. руб., тогда следует ожидать, что величина валового регионального продукта установится на уровне 32,42 млрд. руб., то есть увеличится на 1,6 % от своего среднего уровня.  

    Задача 3.

    Для проверки рабочих  гипотез (№1 и №2) о связи социально-экономических  показателей в регионе используется статистическая информация  за 2000 год  по территориям Центрального федерального округа.