Статистическое исследование динамики социально-экономических явлений

     Под автокорреляцией понимается зависимость последующих уровней ряда от предыдущих . Проверка на наличие автокорреляции осуществляется по критерию Дарбина – Уотсона :

                                         ,                                (2.34)

где -- отклонение фактического уровня ряда в точке t от теоретического (выравненного) значения .

     При К = 0 имеется полная положительная  автокорреляция , при К = 2 автокорреляция отсутствует , при К = 4 – полная отрицательная автокорреляция . Прежде чем оценивать взаимосвязь , автокорреляцию необходимо исключить . Это можно сделать тремя способами .

1. Исключение тренда с авторегрессией. Для каждого из взаимосвязанных рядов динамики Х и У получают уравнение тренда:

                                                                         (2.35)

     Далее выполняют переход к новым  рядам динамики , построенным из отклонений от трендов , рассчитанным по формуле:

                                                                              (2.36)

     Для последовательностей  выполняется проверка на автокорреляцию по критерию Дарбина – Уотсона . Если значение К близко к 2 , то данный ряд отклонений оставляют без изменений . Если же К заметно отличается от 2 , то по такому ряду находят параметры уравнения авторегрессии по формулам:

                                                                        (2.37)

     Более полные уравнения авторегрессии  можно получить на основе анализа автокорреляционной функции , когда определяются число параметров ( ) и соответствующие этим параметрам величины шагов .

     Далее по формуле  подсчитываются новые остатки :

                       (t = 1, ... , Т)               (2.38)

и , по формуле  , коэффициент корреляции признаков : 

                                              .                                   (2.39)

2. Корреляция первых разностей . От исходных рядов динамики Х и У переходят к новым , построенным по первым разностям:

                                                            (2.40)

     По DХ и DУ определяют по формуле направление и силу связи в регрессии:

                                                  (2.41)

3. Включение времени в уравнение связи : .

     В простейших случаях уравнение выглядит следующим образом:

                                                                   (2.42)

     Из  перечисленных методов исключения автокорреляции наиболее простым является второй , однако более эффективен первый . 
 
 
 
 
 
 
 

     3. Анализ динамики  социально-экономических  показателей.

     3.1. Расчёт и анализ  показателей динамики  численности населения России за 2004-2009 гг.

     Исходные  данные по численности населения  России приведены в таблице 3.1:

     Таблица 3.1

 

     В таблице 3.2 проведем расчеты показателей рядов динамики. 

     Таблица 3.2

 
 
 

     Абсолютные  приросты:

     Цепные: Δц = yi – yi-1

     Для 2005 г.: 146303,6-146890,1=- 586,5

     Для 2006 г.: 145649,3-146303,6=- 654,3

     Для 2007 г.: 144963,6-145649,3=- 685,7

     Для 2008 г.: 144168,2 -144963,6=- 795,4

     Для 2009 г.: 143474,2-144168,2=- 694;

     Базисные: Δб = yi – y1

     Для 2005 г.: 146303,6 -146890,1=- 586,5

     Для 2006 г.: 145649,3-146890,1=- 1240,8

     Для 2007 г.: 144963,6-146890,1=- 1926,5

     Для 2008 г.: 144168,2-146890,1=- 2721,9

     Для 2009 г.: 143474,2-146890,1=- 3415,9

     Темпы роста:

     Цепные: ТрЦ =

     2005 г: (146303,6 /146890,1)*100%=99,60072%

     2006 г: (145649,3 /146303,6 )*100%=99,55277%

     2007 г: (144963,6/145649,3 )*100%=99,52921%

     2008 г: (144168,2 /144963,6 )*100%=99,45131%

     2009 г: (143474,2 /144168,2 )*100%=99,51861%

     Базисные: ТрБ =

     2005 г: (146303,6 /146890,1)*100%=99,60072%

     2006 г: (145649,3 /146890,1)*100%=99,15528%

     2007 г: (144963,6/146890,1)*100%=98,68847%

     2008 г: (144168,2 /146890,1)*100%=98,14698%

     2009 г: (143474,2 /146890,1)*100%=97,67451%

     Темпы прироста:

     Цепные: ТпрЦ – 100

     2005 г: 99,60072 –100=-0,3993

     2006 г: 99,55277– 100=-0,4472

     2007 г: 99,52921– 100=-0,4708

     2008 г: 99,45131 – 100=-0,5487

     2009 г: 99,51861– 100=.-0,4814

     Базисные: ТпрБ – 100

     2005 г: 99,60072 – 100=-0,3993

     2006 г: 99,15528– 100=-0,8447

     2007 г: 98,68847 – 100=-1,3115

     2008 г: 98,14698 – 100=-1,853

      2009 г: 97,67451- 100=-2,3255.

     Абсолютные  значения прироста:

     2005 г: 146890,1 / 100 = 1468,9

     2006 г: 146303,6 / 100 = 1463,04

     2007 г: 145649,3 / 100 = 1456,49

     2008 г: 144963,6 / 100 =1449,64

      2009 г: 144168,2/ 100 = 1441,68

      Средний абсолютный прирост:              = = - 683,2

      Средний темп роста:                          =             = =0,9955 .

     7) Средний темп прироста:                                      = 0,9955*100% - 100 = -0,45.

     Одна  из главных задач изучения динамических рядов состоит в выявлении  закономерностей (тенденций) в развитии того или иного процесса или явления. Исходя из данных, полученных в результате анализа ряда динамики численности населения России продолжает падать. Значения цепных и базисных показателей показывают нам характеристику изменений уровней динамического ряда. В частности, можно отметить резкое снижение значения цепного абсолютного прироста в 2008 году, учитывая постоянный отрицательный прирост в течение всех 5 лет. Показатели цепных темпов роста показывают, что текущая численность населения в период с 2004-2009 гг. шла на убыль.

3.2. Прогноз численности населения на 2010-2012 гг.

     По  данным Таблицы 3.1 построим графики: 

     

     

     

     

       

     Среди построенных графиков наименьшее значение ошибки апроксимации наблюдается у степенной модели.

     Рассмотрим  линейную модель, чтобы сделать прогноз численности населения на 2010-2012 гг. Для этого возьмем линейное уравнение: y = -690,61*х + 149040. Обозначим года: 

     Таблица 3.3

 

     Теперь  в линейное уравнение вместо Х  подставляем значения, чтобы получить прогноз на нужный период, а также выровненные значения у. Среднюю ошибку апроксимации будем рассчитывать по данным линейного графика, сопоставляя их с данными о численности населения России из Демографического справочника 2009 года, по формуле:

     

     , т.е. 

     Таблица 3.4

 

     Подставляя  вместо «у» значения из Демографического справочника, вместо «ух» - выровненные  значения «у», а вместо «n» - количество лет, получим среднюю ошибку апроксимации, равную ≈ 5,70704 / 6 ≈ 0,9512. Такое значение ошибки апроксимации превышает 12-15%, это свидетельствует о том, что данные не адекватны реальным, однако тенденция к снижению точно прослежена.

     Таким образом ясно, что численность России будет продолжать снижаться в 2010-2012 году. Согласно полученному прогнозу в 2012 году она будет равняться 142824,51 тыс.чел.