Статистическое исследование динамики социально-экономических явлений

                                                                                  (2.16)

Основываясь на взаимосвязи между цепными  и базисными абсолютными приростами , показатель среднего абсолютного  прироста можно определить по формуле:

                                                                                      (2.17)

     Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики . Для определения среднего темпа  роста  применяется формула:

                                                             (2.18)

     где Тр1 , Тр2  , ... , Трn  -- индивидуальные (цепные) темпы роста (в коэффициентах), n -- число индивидуальных темпов роста.

     Средний темп роста можно определить и  по абсолютным уровням ряда динамики по формуле:

                                                                             (2.19)

     На  основе взаимосвязи между цепными  и базисными темпами роста  средний темп роста можно определить по формуле: 

                                                                                (2.20)

     Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами  роста и прироста . При наличии  данных о средних темпах роста  для получения средних темпов прироста используется зависимость , выраженная формулой:

                                                                                     (2.21)

     (при  выражении среднего темпа роста  в коэффициентах)

2.2. Метод выявления и изучения тенденции развития.

     Изучение  тренда включает в себя два основных этапа :

1. Ряд динамики проверяется на наличие тренда
2. Производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных показателей – результатов .

     Проверка  на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям .

1. Метод средних. Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два), для каждого из которых определяется средняя величина ( ). Выдвигается гипотеза о существенном различии средних . Если эта гипотеза принимается, то признается наличие тренда .
2. Фазочастотный критерий знаков первой разности (критерий Валлиса и Мура). Суть его заключается в следующем: наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае, если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы – изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).
3. Критерий Кокса и Стюарта. Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае , когда число уровней ряда не делится на три, недостающие уровни надо добавить) и сравнивают между собой уровни первой и последней групп .
4. Метод серий. По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов : например , если уровень ряда меньше медианного значения , то считается , что он имеет тип А , в противном случае – тип В. Теперь последовательность уровней выступает как последовательность типов . В образовавшейся последовательности типов определяется число серий (серия – любая последовательность элементов одинакового типа , с обоих сторон граничащая с элементами другого типа).

      Если  в ряду динамики общая тенденция  к росту или снижению отсутствует, то количество серий является случайной величиной, распределенной приближенно по нормальному закону (для n > 10). Следовательно , если закономерности в изменениях уровней нет, то случайная величина R оказывается в доверительном интервале

. (2.22)

     Параметр t назначается в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности Р.

     Среднее число серий вычисляется по формуле:

                                                .                                  (2.23)

     Среднее квадратическое отклонение числа серий вычисляется по формуле:

                                               .                             (2.24) 

     здесь n -- число уровней ряда .

     Выражение для доверительного интервала приобретает  вид 

      (2.25)

     Полученные  границы доверительного интервала  округляют до целых чисел , уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю .

     Непосредственное  выделение тренда может быть произведено тремя методами .

1. Укрупнение интервалов . Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов . Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления , переходят к расчету уровней за большие промежутки времени , увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов) .
2. Скользящая средняя . В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами , которые получают из данного уровня и нескольких  симметрично его окружающих . Целое число уровней , по которым рассчитывается среднее значение , называют интервалом сглаживания . Интервал может быть нечетным (3,5,7 и т.д. точек) или четным (2,4,6 и т.д. точек).

      При нечетном сглаживании полученное среднее  арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала , при  четном это делать нельзя . Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными , для чего образуют ближайший больший нечетный интервал , но из крайних его уровней берут только 50%.

     Недостаток  методики сглаживания скользящими  средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда . Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной . Так , при сглаживании по трем точкам выровненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле :

                            .                              (2.26)

     Для последней точки расчет симметричен .

     При сглаживании по пяти точкам имеем такие уравнения:

                                         (2.27)

     Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью симметричен сглаживанию в двух начальных точках .

     Формулы расчета по скользящей средней выглядят , в частности , следующим образом:

     для 3--членной    .                                 (2.28)

3. Аналитическое выравнивание . Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления . Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени . В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий , суммарный , проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов . Отклонение конкретных уровней ряда от уровней , соответствующих общей тенденции , объясняют действием факторов , проявляющихся случайно или циклически . В результате приходят к трендовой модели , выраженной формулой:

                                            ,                                     (2.29) 

где f(t) – уровень , определяемый тенденцией развития ;

- случайное и циклическое отклонение от тенденции.

     Целью аналитического выравнивания динамического  ряда является определение аналитической  или графической зависимости  f(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом , чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса .

     Чаще  всего при выравнивании используются следующий зависимости :

     линейная ;

     параболическая  ;

     экспоненциальная 

     или ).

1. Линейная зависимость выбирается в тех случаях , когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты , не проявляющие тенденции ни к увеличению , ни к снижению.
2. Параболическая зависимость используется , если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития , но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют .
3. Экспоненциальные зависимости применяются , если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста , темпов прироста , коэффициентов роста) , либо , при отсутствии такого постоянства , -- устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста , цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.д.).

      Оценка  параметров ( ) осуществляется следующими методами :

1. Методом избранных точек,
2. Методом наименьших расстояний,
3. Методом наименьших квадратов (МНК)

     В большинстве расчетов используется метод наименьших квадратов , который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных :

      .

     Для линейной зависимости ( ) параметр обычно интерпретации не имеет , но иногда его рассматривают , как обобщенный начальный уровень ряда ; -- сила связи , т. е. параметр , показывающий , насколько изменится результат при изменении времени на единицу . Таким образом , можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост .

     Построив  уравнение регрессии , проводят оценку его надежности . Это делается посредством  критерия Фишера (F) . Фактический уровень ( ) , вычисленный по формуле, сравнивается с теоретическим (табличным) значением : 

                 ,         (2.30) 

где k - число параметров функции , описывающей тенденцию;

n  - число уровней ряда ;

     Остальные необходимые показатели вычисляются  по формулам:

                                                                  (2.31)

                                          (2.32)

                                             (2.33)

      сравнивается с при степенях свободы и уровне значимости a (обычно a = 0,05). Если > , то уравнение регрессии значимо , то есть построенная модель адекватна фактической временной тенденции.

2.3. Автокорреляция рядов.

     В простейших случаях для характеристики взаимосвязи двух или более рядов  их приводят к общему основанию, для чего берут в качестве базисных уровни за один и тот же период и исчисляют коэффициенты опережения по темпам роста или прироста .

     Коэффициенты  опережения по темпам роста – это отношение темпов роста (цепных или базисных) одного ряда к соответствующим по времени темпам роста (также цепным или базисным) другого ряда. Аналогично находятся и коэффициенты опережения по темпам прироста .

     Анализ  взаимосвязанных рядов представляет наибольшую сложность при изучении временных последовательностей . Однако нередко совпадение общих тенденций развития может быть вызвано не взаимной связью , а прочими неучитываемыми факторами. Поэтому в сопоставляемых рядах предварительно следует избавиться от влияния существующих в них тенденций , а после этого провести анализ взаимосвязи по отклонениям от тренда . Исследование включает проверку рядов динамики (отклонений) на автокорреляцию и установление связи между признаками .