Построение инвестиционного портфеля с использованием авторегрессионной модели

     _{Таблица 1:}

1 – Лукойл

2 – Сургутнефтегаз

3 - Роснефть

4 - Росбанк 

      Данные  в таблице подтверждают сказанное  выше, что комбинации активов со слабой корреляцией понижают риск портфеля. (Например: портфель с активами Сургутнефтегаза и Роснефти). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ 
 

       Гарри Марковиц впервые предложил математическую формализацию задачи нахождения оптимальной  структуры портфеля ценных бумаг  в 1951 году, за что позднее был удостоен Нобелевской премии по экономике.

       Основными постулатами, на которых построена  классическая портфельная теория, являются следующие:

1. Рынок состоит из конечного числа активов, доходности которых для заданного периода считаются случайными величинами.
2. Инвестор в состоянии, например, исходя из статистических данных, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и их попарных ковариаций и степеней возможности диверсификации риска.
3. Инвестор может формировать любые допустимые (для данной модели) портфели. Доходности портфелей являются также случайными величинами.
4. Сравнение выбираемых портфелей основывается только на двух критериях – средней доходности и риске.
5. Инвестор не склонен к риску в том смысле, что из двух портфелей с одинаковой доходностью он обязательно предпочтет портфель с меньшим риском.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.1 ФОРМИРОВАНИЕ  ПОРТФЕЛЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ AR МОДЕЛИ

2.1.1  АВТОРЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ 
 

     Термин  регрессия введен английским статистиком  Ф. Гальтоном в последней четверти 19 века при изучении зависимости роста сыновей от роста отцов. Оказалось, что если по оси абсцисс расположить рост отцов (x2), а по оси ординат – рост сыновей (x1), то точки, соответствующие проведенным наблюдениям (облако точек наблюдений), расположатся вокруг некоторой прямой.

      Это означает, что  зависимость между  ростом сыновей и отцов существует, и эта зависимость близка к  линейной. Но угол наклона соответствующей  прямой  меньше 45 градусов. Другими  словами, имеет место «возврат» - регрессия – роста сыновей  к некоторому среднему росту. Для этой зависимости и был предложен термин «регрессия». Со временем он закрепился за любыми зависимостями статистического характера, т. е. такими, которые выполняются «по математическому ожиданию», с погрешностью.

     Пусть S - некоторая рискованная ценная бумага (акция, рисковая облигация и т. д.). Если  есть цена рисковой ценной бумаги в некоторый момент времени , то ее цену в момент  времени будем представлять в виде                           

                                                               (2.1) 

     Где    По смыслу

                            

                                                                        (2.2)                  

есть  относительное изменение цены (доходность) рискованной ценной бумаги.  В отличие от безрисковой ценной бумаги, величина является случайной, а совокупность величин образует случайный процесс.

      Рассмотрим  изменение доходностей используемых нами ценных бумаг (Роснефть, Лукойл, Сургутнефтегаз, Росбанк) за период с 10 декабря 2010 по 24 января 2011:

 

       

     Для построения последовательности доходностей  активов будем использовать модель авторегрессии. Говорят, что последовательность подчиняется авторегрессионной модели AR(p) порядка p, если эволюция описывается следующим уравнением в конечных разностях порядка p:

                                         _(2.3) 

     Рассмотрим  данную последовательность при p=1:

                               (2.4)       

   где  доходность акции. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.1.2 ПРОГНОЗИРОНАНИЕ  ДОХОДНОСТИ И  ЦЕНЫ АКТИВА  С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛИ AR 
 

      Одним из вопросов, который позволяет решать рассмотренная выше модель, является прогноз цен и доходности ценных бумаг на некоторое время вперед.

     По  предыдущим значениям последовательности … найдем оценки параметров a λ σ модели, для нахождения которых обычно применяют метод наименьших квадратов, налагая при этом условие минимизации:

 

                                           -> min                             (2.5) 

     Из  данного уравнения получаем формулы  для нахождения оценок

параметров  a λ σ:

                                                                 _(2.6)

 

                                                           _(2.7)

 
 

                                                                              _(2.8)

 

      Используя полученные оценки параметров модели, мы можем спрогнозировать доходность и цену актива :

                                                                                       (2.9)

                                                                                                                 (2.10) 

     Ниже  в таблице 2 приведены спрогнозированные и реальные доходности и цены используемых нами активов. Сама реализация алгоритма приведена в приложение 2. 

     Таблица 2:

                                                        21.01.2011   24.01.211 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. ПОСТРОЕНИЕ  ПОРТФЕЛЯ НА ОСНОВЕ ДАННЫХ  ПРОГНОЗА ПОЛУЧЕННОГО ИЗ AR 
 

      Пусть на n шаге наш портфель содержит k активов,  тогда стоимость портфеля будет определяться по формуле: 

                                                                                (3.1)

где доли активов в портфели (их количество), (n) стоимость i акции в момент времени n. Имея финансовый капитал в размере , мы должны помнить, что: 

                                                             (3.2)

т.е. инвестор не вкладывает капитала больше, чем у  него есть в момент времени n.

      Получив прогноз доходности актива, мы можем  рассчитать возможную величину полученного  капитала от вложений в портфель ценных бумаг на момент времени n+1:

 

                                                        (3.3) 

      Зная  все это, можно посчитать доходность всего портфеля: 

                                                        (3.4)

      При этом, получая желаемую доходность нужно помнить о возможном   риске. Рассчитаем риск для портфеля с двумя активами и получим, что риск равен:

                   _(3.5)

 

      где элемент корреляционной матрицы элементов i и j, Которая в свою очередь рассчитывается по формуле: 

                                                                                 _(3.6)

      _Где     

            _{На практике было  взято 4 различных  актива, найдена их  корреляционная матрица} 

                             

_{и по построенным прогнозным значениям цен и доходностей был построен портфель ценных бумаг с заданными ограничениями риска и доходности портфеля. Ниже приведенна таблица 3, в которой отображены портфели удовлетворяющие заданным ограничениям. Реализация алгоритма представленна в приложение 3.}