Построение инвестиционного портфеля с использованием авторегрессионной модели

stify">      Важнейшую роль в управлении инвестициями играет теория оптимального портфеля, связанная с проблемой выбора эффективного портфеля, максимизирующего ожидаемую доходность при некотором, приемлемом для инвестора уровне риска. Теоретико-вероятностные методы позволяют дать определения «ожидаемой доходности» и «риска» портфеля, а статистические данные – получить оценку этих характеристик.

     При построении эффективного портфеля будем  считать, что инвестор избегает риска, т. е. из двух вариантов инвестирования с одинаковой ожидаемой доходностью, но различными уровнями риска он выберет тот, риск которого меньше.

      Если  инвестор стоит перед выбором  одного из эффективных портфелей, то оптимальным портфелем будет  наиболее предпочтительный из них. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.3 ДИВЕРСИФИЦИРОВАННЫЙ ПОРТФЕЛЬ 
 

     При формировании портфеля следует различать рисковые и безрисковые активы.

      Рисковые  активы – это активы, доходность которых в будущем неопределенна. Предположим, что инвестор покупает акции компании и планирует держать  их один год. В момент покупки он не знает, какой доход получит  в конце срока. Это зависит от стоимости акции через год и дивидендов, которые компания выплачивает в течение года. Поэтому эти акции, так же как и акции других компаний - это рисковые активы. Тем не менее активы, будущая доходность которых известна в момент погашения, существуют. Такие активы называются безрисковыми активами. Как правило, это краткосрочные правительские облигации.

      Допустим, инвестор покупает казначейские векселя  США сроком погашения один год  и планирует держать их до погашения. В таком случае относительно доходности этих бумаг нет никакой неопределенности. Инвестор знает, что в день их погашения правительство выплатит определенную сумму (номинал), погашающую долг.

      Принимая  решение о приобретении портфеля, инвестор должен обращать внимание на ожидаемую доходность и стандартное отклонение каждого портфеля. Ожидаемая ставка доходности (среднее значение доходности) определяется как сумма всех возможных ставок доходности, умноженных на соответствующую вероятность их получения:

                                  _(1.2)

 
 
 
 

      Рискованность одного актива измеряется дисперсией или средним квадратическим отклонением  доходов по этому активу, а риск портфеля – дисперсией или средним  квадратическим отклонением доходов  портфеля.

      Если  для создания портфеля ценны бумаг инвестировать деньги в какой-то один вид финансовых активов, то инвестор оказывается зависимым от колебания его курсовой стоимости. Поэтому следует вкладывать капитал в акции нескольких компаний, хотя понятно, что эффективность также будет зависеть от курсовых колебаний, но уже не каждого курса, а усредненного, который, как правило, колеблется меньше, поскольку при повышении курса одной из ценных бумаг курс другой может понизиться, и колебания могут взаимно погаситься.

      Такой портфель ценных бумаг, содержащий самые разнообразные типы ценных бумаг, называется диверсифицированным портфелем. Хотя подобный портфель значительно снижает диверсифицированные (несистематические) риски, но полностью устранить инвестиционный риск нельзя, так как при вложении капиталов присутствуют еще и недиверсифицированные или систематические риски, присущие конкретной экономической системе в целом или отдельному рынку и не поддающиеся диверсификации.

      Однако  чтобы измерить риск портфеля, нам  нужно не только знать вариацию доходов  отдельных ценных бумаг, но и степень, с которой доходы пар ценных бумаг колеблются вместе. Нам необходимо знать ковариацию или же корреляцию доходов каждой пары активов в портфеле.

      Риск  портфеля, измеряемый через дисперсию, рассчитывается как взвешенная сумма ковариаций всех пар активов в портфеле, где каждая ковариация взвешена на произведение весов каждой пары соответствующих активов и дисперсия данного актива рассматривается как ковариация актива с самим собой.

      Дисперсия или вариация случайной величины служит мерой разброса ее значений вокруг среднего значения. Для доходности (как случайной величины) вариация, оценивающая степень отклонения возможных конкретных значений от средней или ожидаемой доходности, служит мерой риска, связанного с данной доходностью.

      Формула для определения вариации доходности i-го актива, записывается следующим образом:

                                    _(1.3)

                                                       

       
 
 

      Вариация  учитывает не только размер отклонений возможных значений доходности от среднего, но и вероятность такого отклонения. В этом смысле дисперсия указывает меру неопределенности в ожиданиях инвестора, который оценивает будущую доходность как среднюю по всем возможным значениям.

      При вычислении стандартного отклонения портфеля пользуются понятием ковариации. Ковариация – это статистическая мера взаимодействия двух случайных переменных. То есть это мера того, насколько две случайные переменные, такие, например, как доходности двух ценных бумаг i и j, зависят друг от друга. Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной из ценных бумаг должна, вероятно, повлечь за собой лучшую, чем ожидаемая, доходность другой ценной бумаги. Отрицательная ковариация показывает, что доходности имеют тенденцию компенсировать друг друга, например лучшая, чем ожидаемая доходность одной ценной бумаги сопровождается, как правило, худшей, чем ожидаемая, доходность другой ценной бумаги. Относительно небольшое или нулевое значение ковариации, показывает, что связь между доходностью этих ценных бумаг слаба либо отсутствует вообще.

     В общем случае вычисление стандартного отклонения портфеля, состоящего из n ценных бумаг, требует двойного суммирования n ценных бумаг, для чего необходимо сложить членов:

                                _(1.4)

                                                      

         
 
 
 

_{где означает ковариацию ценных бумаг i и j.}

   

      _{Очень близкой к ковариации является статистическая мера, известная как корреляция. На самом деле, ковариация двух случайных переменных равна корреляции между ними умноженной на произведение их стандартных отклонений:}

                                                        

_{где обозначает коэффицент корреляции между доходностью на ценную бумагу i и доходностью на ценную бумагу j. Коэффицент корреляции нормирует ковариацию для облегчения сравнения с другими парами случайных переменных.}

      _{Коэффицент  корреляции всегда лежит  в интервале между -1 и +1. Если он равен -1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если +1 – полную положительную корреляцию. В большинстве случаев он находится между этими двумя экстремальными значениями.}

      _{Рисунок 1 представляет собой  точечную диаграмму  доходностей гипотетических ценных бумаг А и В, когда корреляция между этими ценными бумагами, полностью положительна. Заметим, что все точки лежат на прямой наклоной линии, идущей из левого нижнего квадранта в правый верхний. Это означает,что когда одна из двух ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, тогда и другая ценная бумага имеет относительно высокую доходность. И наоборот.}

  _{Рис 1 Рис 2} 

       _{Однако корреляция между доходностями двух различных ценных бумаг будет абсолютно отрицательной, когда точечная диаграмма показывает, что точки лежат именно на прямой наклонной линии, идущей из левого верхнего квадранта в правый нижний, как это показанно на рисунке 2. В данном случае можно сказать, что доходности двух ценных бумаг изменяются противоположно друг дгуру. То есть когда одна из ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, другая имеет относительно низкую доходность.}

      _{Особый  случай возникает, когда  точечная диаграмма  доходности ценных бумаг  показывает разброс  точек, который даже приблизительно не может быть представлен прямыми наклонными линиями. В таком случае делается вывод о некоррелированности доходностей, т.е. о равенстве нулю коэффицента корреляции. Рисунок 3 представляет данный пример. В такой ситуации, когда одна из ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, другая может иметь и относительно высокую, и относительно низкую, и среднюю доходности.}

                         _{Рис 3}

      _{Теперь  на конкретном примере  рассмотрим понижающий риск эффект диверсификации.}

      _{В центре внимания стратегия диверсификации Марковица прежде всего находится уровень ковариации доходностей активов портфеля. Ключевой вклад Марковица состоит в постановке вопроса о риске активов как составляющих единого портфеля, а не отдельно взятых единиц.}

      _{Данная  стратегия, стремясь к максимально возможному снижению риска при сохранении требуемого уровня доходности, состоит в выборе таких активов, доходности которых имели бы возможно меньшую положительную корреляцию. Именно учет взаимной корреляции доходностей активов с целью снижения риска отличает стратегию диверсификации Марковица от стратегии наивной диверсификации.}

      _{Способ  диверсификации Марковица  и важность корреляции активов можно  проанализировать на примере портфеля из двух активов. Для этого мы сначала покажем общую взаимосвязь ожидаемого риска портфеля этих активов и корреляции их доходностей. Затем мы изучим влияние комбинирования активов с различными корреляциями на риск всего портфеля.}

      _{Для нахождения связи  между доходами каждой ценной бумаги определяем ковариацию (корреляцию) каждой пары активов по формуле:}

 

                           _(1.5) 
 

_{и ковариацию актива с  сами собой}

                                                                                  _(1.6)

      _{Ковариации  доходов по всем возможным  парам активов отображаем в ковариационной матрице:}

                                                                                                            

                            

      _{Риск  портфеля находится  по формуле:}

                       _(1.7)

                             

 

_{где n – объем выборочной статистики по годам,}

     _{k – число активов.}

     _{Рассматривая  различные варианты процентных соотношений  активов в портфеле, получаем наиболее выгодный, тот у которого самый наименьший риск. Это получается за счет уменьшения коррелированности между активами. (Таблица 1). Также анализ значений риска портфелей показывает, что среднее квадратическое отклонение портфеля падает, когда снижается степень корреляции пар активов. Общий риск ценной бумаги, находящийся в изоляции, больше, чем у той же ценной бумаги, находящейся в портфеле. Комбинация активов со слабой корреляцией понижает риск портфеля. Эффективная диверсифмкация достигается не просто добавлением активов к портфелю, а добавлением таких активов, доходы которых имеют самые низкие корреляции,а лучше и отрицательные, с активами, присутствующими в портфеле. Программно алгоритм описан в приложение 1.}