H₀: = ,

     H₁: ≠ ,

      = 0,022551934

      0,150173013

      =0,92430537

     Так как |t_расч|  < t_таб, значит различия между моделями незначительны, переход к нелинейной модели нецелесообразен.

     Кубическая  зависимость

     | - | = 0,516849643- 0,254674193= 0,262175

     | - | > 0,1

     Выдвигаем нулевую гипотеза:

     H₀: = ,

     H₁: ≠ ,

      = 0,035546991

      0,188539096

      =1,390562784

     Так как |t_расч|  < t_таб, значит различия между моделями незначительны, переход к нелинейной модели нецелесообразен.

     Вывод: для всех рассмотренных уравнений нелинейной регрессии переход от линейной функции к нелинейной не целесообразен.

1.12 Вывод о результатах  исследования

    В результате эконометрического исследования и анализа данных было рассмотрено 4 уравнения парной регрессии, устанавливающих зависимость между среднегодовой заработной платой наемных рабочих в стране и  количеством людей, прибывших в страну на постоянное место жительство. Это линейная модель, показательная, модели с квадратичной и кубической зависимостью. В итоге были сделаны следующие выводы.

    Все построенные модели подтверждают, что  рост величины заработной платы наемных рабочих является фактором увеличения числа прибывших в страну на постоянное место жительства.

    Самый высокий показатель тесноты связи переменных в модели с кубической зависимостью, т.к. коэффициент детерминации в кубической модели принимает наибольшее значение , что говорит о наибольшей надежности найденного уравнения регрессии. Т.е модель в виде кубической зависимости наилучшим образом описывает взаимосвязь числа прибывших в страну на постоянное место жительства и годовой заработной платы наемных рабочих.

    Во  всех рассмотренных моделях средняя ошибка аппроксимации значительно превышает допустимые значения, что говорит о низком качестве подгонки моделей. Однако модель с кубической зависимостью является лучшей с точки зрения аппроксимации данных и оценки тесноты связи, поскольку имеет наибольшую по сравнению с другими моделями долю объясненной вариации – 52% (коэффициент детерминации наиболее близок к 1).

    Все полученные уравнения регрессии  статистически значимы. Параметр а  статистически незначим для всех построенных моделей, параметр b значим для всех, кроме показательной зависимости.

     Более точный из всех прогнозов дает модель с кубической зависимостью, так как  данная модель имеет наименьшую стандартную  ошибку прогноза и диапазон верхней  и нижней границ доверительного интервала  меньше, чем у других моделей.

     Таким образом, по всем рассмотренным параметрам уравнение регрессии с кубической зависимостью является лучшим из рассмотренных, но не оптимальным для практического использования и прогнозирования. Данный факт можно объяснить глобальностью исследования, большим разбросом данных, а также тем, что число иммигрантов зависит от множества факторов, которые невозможно учесть в парной регрессии.

     Кроме того, не достаточно хорошие характеристики модели могут быть вызваны наличием в исходных данных единиц с аномальными  значениями исследуемых признаков: в Великобритании число прибывших на постоянное место жительства значительно превышает данный показатель для других стран. Возможно для получения более точного и надежного результата данную страну следует исключить из выборки.

2.ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ

2.1. Исходные данные

    Введем  в модель еще несколько показателей, позволяющих учитывать несколько факторов, влияющих на число прибывших в страну на постоянное место жительства. А именно такие факторы как число безработных и ВВП, страны. Получим следующий набор факторов, влияющий на показатель y- число прибывших в страну на постоянное место жительства, тыс. чел:

    x₁- номинальная годовая заработная плата наемных работников, тыс. евро. 

    x₂- число безработных, тыс. чел.

    x₃- ВВП, млрд. евро

    Исходные  данные для построения множественной  регрессии приведены в таблице 2.

    Таблица 2.

 

    Все данные также получены из статистического  ежегодника «Россия и страны-члены  ЕС» за 2005 год.

2.2. Построение уравнения  множественной регрессии

      Множественная регрессия – уравнение связи  с несколькими неизвестными переменными:

,

где y – зависимая переменная (результативный признак),

       - независимые переменные (факторы).

      Для построения уравнения множественной  регрессии используем линейную функцию, записанную в матричной форме:

       ,

где , ,    ,    

      Для оценки параметров уравнения множественной  регрессии применяют метод наименьших квадратов:

       .

      Строится  следующая система уравнений, решение которых позволяет получить оценки параметров регрессии:

       .

Ее решение  в явном виде обычно записывается в матричной форме, иначе оно  становится слишком громоздким.

      Оценки  параметров модели в матричной форме  определяются выражением:

,

   X – матрица значений объясняющих переменных;

  Y – вектор значений зависимой переменной.

      Для выявления зависимости числа прибывших на постоянное место жительства от номинальной годовой з/п наемных рабочих, числа безработных и уровня ВВП построим уравнение множественной регрессии в виде:

      

      Получили  следующие оценки параметров уравнения регрессии:

      Тогда уравнение множественной регрессии  имеет вид:

 

    Расчет  параметров данного уравнения представлен в приложении 7.

2.3. Расчет средних коэффициентов эластичности для каждого фактора и сравнительная оценка силы связи каждого фактора с результатом. Экономическая интерпретация построенной модели.

    Для характеристики относительной силы влияния факторов на y рассчитаем средние коэффициенты эластичности. Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формулам:

     .

= 0,12026241

= -0,06319176

= 0,86930458

    Расчет  данных значений приведен в приложении 8.

    С увеличением величины годовой заработной платы наемных рабочих на 1% от среднего уровня при неизменных показателях остальных факторов, число прибывших на постоянное место жительства увеличивается на 0,12%.

    С увеличением численности безработных на 1% от среднего при неизменных показателях остальных факторов, число прибывших на постоянное место жительства уменьшается на 0,06%

    С увеличением величины ВВП на 1% от среднего при неизменных показателях остальных факторов, число прибывших на постоянное место жительства увеличивается на 0,87%

    Вывод: изменение числа прибывших в страну на постоянное место жительства находится в прямой зависимости от годовой заработной платы наемных рабочих и величины уровня ВВП страны и в обратной зависимости от численности безработных, что не противоречит и логическим предположениям.   Коэффициенты эластичности, как показатели силы связи, показывают, что наибольшее изменение числа прибывших в страну вызывает величина ВВП, а наименьшее – численность безработных.

2.4. Построение матрицы  корреляции, вычисление коэффициента (индекса) множественной корреляции

     При линейной зависимости коэффициент  множественной корреляции можно  определить через матрицу парных коэффициентов корреляции: 

     

     где - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

            - определитель матрицы межфакторной корреляции.

     С помощью пакета «Анализ данных» в Microsoft Excel построены следующие матрицы:

     Матрица парных коэффициентов корреляции:

       
 
 
 
 

       
 
 
 

     Матрица межфакторной корреляции:

     

     

     Их  определители равны:

     

     Рассчитаем  коэффициент множественной корреляции:

       

     Значение  индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1.

    Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по формуле:

                                                = 372,353247%

    Значение средней ошибки аппроксимации свидетельствует о плохой подгонке модели под исходные данные, т.к. оно значительно превышает допустимые границы.

     Вывод: Совместное влияние всех факторов на  число прибывших в страну на постоянное место жительства достаточно велико. Связь между рассматриваемым показателем и влияющими на него факторами усилилась по сравнению с парной регрессией (r_yx=0.506). Наблюдается довольно сильная связь.

     Необходимо  учитывать, что в модели наблюдается небольшая мультиколлинеарность, что может свидетельствовать о ее неустойчивости, поскольку определитель матрицы межфакторной корреляции достаточно далек от 1. Максимальный коэффициент парной корреляции наблюдается между факторами x₁ и x₃ (r_x1x3=0.595), что вполне объясняемо, т.к. среднегодовая заработная плата в стране должна находиться в прямой зависимости от ВВП страны.

2.5.Рассчет оценок дисперсий ошибок модели и оценок параметров модели

    Расчет  оценок дисперсий ошибок и дисперсий  параметров модели осуществляется по следующим формулам:

    

    где n = 20 – количество наблюдений, а m=4 – количество параметров.

    Для построенной модели оценка дисперсии  ошибок составила:

=6674,02207

Оценки  дисперсий параметров модели:

    

    Следовательно, стандартные ошибки параметров модели:

    

    Промежуточные расчеты полученных данных представлены в приложении 8.