= 11483,75

= 452,87517

= 3,1754617 

Квадратичная  зависимость.

     Построим уравнение квадратичной кривой , произведя замену

    Получим линейное уравнение 

    Параметры уравнения модели находятся по следующим  формулам:

    

    

    Таким образом, уравнение регрессии принимает  вид:

     

    Подставляя  в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические результаты значения . По ним рассчитаем показатель тесноты связи – индекс корреляции.

,

    Проверим  данный коэффициент на значимость, воспользовавшись t–критерием Стьюдента.

    Выдвигается гипотеза H₀ о случайной природе показателя, т.е. незначимом его отличии от нуля. H₀: =0

    

=3,41

T_табл(0,05;18) = 2,101

     Т.к. | |> T_табл, то гипотеза H₀ отвергается, т.е. коэффициент значим.

       График показательного уравнения  регрессии представлен на рис.  4.

     

     Рис 4. График уравнения регрессии для  квадратичной зависимости

    Расчет  оценок дисперсий ошибок и дисперсий  параметров модели осуществляется по следующим формулам:

                               

                               

                               

    Промежуточные расчеты представлены в приложении 3. В результате получены следующие  значения:

= 8760,35808

= 743,283328

= 0,00123901

Кубическая  зависимость.

     Построим  уравнение кубической кривой , произведя замену

    Получим линейное уравнение 

    Параметры уравнения модели находятся по следующим формулам: 

    

    

    Таким образом, уравнение регрессии принимает  вид:

     

    Подставляя  в данное уравнение фактические  значения х, получаем теоретические результаты значения . По ним рассчитаем показатель тесноты связи – индекс корреляции.

,

    Проверим  данный коэффициент на значимость, воспользовавшись t–критерием Стьюдента.

    Выдвигается гипотеза H₀ о случайной природе показателя, т.е. незначимом его отличии от нуля. H₀: =0

    

=4,38

T_табл(0,05;18) = 2,101

     Т.к. | |> T_табл, то гипотеза H₀ отвергается, т.е. коэффициент значим.

       График показательного уравнения  регрессии представлен на рис. 5.

     

     Рис 5. График уравнения регрессии для квадратичной зависимости

    Расчет  оценок дисперсий ошибок и дисперсий  параметров модели осуществляется по следующим формулам:

                               

                               

                               

    Промежуточные расчеты представлены в приложении 4. В результате получены следующие значения:

= 6978,45007

= 514,7649432

= 5,9851E-07

    Вывод: самая высокая степень связи переменных в модели с кубической зависимостью, т.к. коэффициент корреляции в кубической модели наиболее близок к единице, а самая низкая - в показательной модели. Дисперсии ошибок и параметров модели принимают минимальные значения в кубической зависимости.

1.4. Оценка силы связи фактора с результатом с помощью коэффициента эластичности, экономическая интерпретация построенных уравнений

    Средний коэффициент эластичности  показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при  изменении фактора х на 1% от своего среднего значения:

    

    Линейная  зависимость

    

    

    Т.е. с ростом годовой з/п наемных  рабочих на 1% число прибывших  в страну на постоянное место жительства увеличивается на 1,250028395%.

    Показательная зависимость

    

     1,2083965

    Т.е. с ростом годовой з/п наемных  рабочих на 1% число прибывших  в страну на постоянное место жительства увеличивается на 1,2083965

      Квадратичная зависимость

    

    

    Т.е. с ростом годовой з/п наемных  рабочих на 1% число прибывших в страну на постоянное место жительства увеличивается на 1,24843054

      Кубическая зависимость

    

      0,938829224

    Т.е. с ростом годовой з/п наемных  рабочих на 1% число прибывших  в страну на постоянное место жительства увеличивается на 0,938829224

    Значения  коэффициентов эластичности приведены  в приложении 5.

    Вывод: Таким образом, все построенные модели подтверждают, что величина заработной платы наемных рабочих является фактором увеличения числа прибывших в страну на постоянное место жительства. Коэффициент эластичности, как показатель силы связи, показывает, что годовая заработная плата наемных рабочих в больше степени влияет на число прибывших в страну на постоянное место жительства при линейной и квадратичной зависимостях. В меньшей степени данная связь прослеживается в кубической зависимости.

1.5. Оценка тесноты связи (по коэффициенту детерминации)

     Коэффициент детерминации дает оценку качества построенной модели. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результирующего признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака.

     

     Коэффициент детерминации равен квадрату индекса  корреляции. Чем ближе к единице  , тем лучше качество подгонки, т.е. более точно аппроксимирует у.

     Линейная  зависимость

        

     Таким образом, уравнением регрессии объясняется 25% дисперсии результативного признака, а на долю остальных факторов приходится 75% ее дисперсии (т.е. остаточная дисперсия).

     Модель  линейной зависимости плохо аппроксимирует исходные данные.

     Показательная зависимость

      =

     Зависимость между показателями такая же слабая, как и в линейной модели. Вариация у всего на  20% объясняется вариацией х, а на долю остальных факторов приходится 80%. Связь в данной модели самая слабая. Поэтому качество модели неудовлетворительное.

     Квадратичная  зависимость

     

     Зависимость между показателями немного лучше, чем в показательной и линейной моделях. Вариация у только на 40% объясняется  вариацией х. Но данную модель также не желательно использовать для прогнозирования.

     Кубическая  зависимость

     

     Зависимость между показателями лучше, чем в  предыдущих моделях. Вариация у на 52% объясняется вариацией х.

     Значения  коэффициентов детерминации представлены в приложении 5.

        Вывод: качество построенных моделей низкое, самая высокая оценка качества у модели с кубической зависимостью. Доля объясненной вариации составила 52%, т.е. данная модель регрессии является лучшей с точки зрения аппроксимации данных.

1.6. Оценка качества уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации

    Средняя ошибка аппроксимации – среднее  отклонение расчетных значений от фактических:

    Допустимый  предел значений - не более 8-10%.

    Линейная модель

     =1153,261%

    В среднем расчетные значения отклоняются  от фактических на 1153,261%, что говорит об очень большой ошибке аппроксимации.

    Показательная зависимость

     =396,93259

    Ошибка  аппроксимации несколько ниже, чем у остальных моделей, но также является недопустимой.

    Квадратичная  зависимость

     =656,415018

    Так же наблюдается высокая ошибка аппроксимации, что свидетельствует о низком качестве подгонки уравнения

    Кубическая  зависимость

     =409,3804652

    Ошибка  аппроксимация также значительно  превышает допустимые значения.

    Подробные вычисления представлены в приложениях 1-4.

    Вывод: во всех рассмотренных моделях средняя ошибка аппроксимации значительно превышает допустимые значения, качество подгонки моделей к исходным данным очень низкое.

1.7. Оценка статистической надежности уравнений регрессии с помощью F-критерия Фишера

    Оценка  значимости уравнения регрессии  осуществляется с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза о равенстве фактической и остаточной дисперсий, и следовательно, фактор x не оказывает влияния на y, т.е.

    H₀: D_факт=D_ост

    Для этого выполняется сравнение  фактического и критического (табличного) значений F-критерия Фишера. определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий:

  - максимально возможное значение  критерия под влиянием случайных  факторов при данных степенях свободы и уровне значимости . Уровень значимости - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна.

 Если  < , то отклоняется и признается статистическая значимость и надежность уравнения регрессии, иначе - принимается и делается вывод о незначимости уравнения регрессии.

=  F (0.05,m-1,n-m)= F(0.05,1,18)= 4,413873, где

n-число единиц совокупности;