Интегрируемые эконометрические процессы: оценка порядка интегрируемости, тесты на единичный корень

 

Фиктивные переменные DT 2002  и DT 2004 оказались статистически незначимыми и целесообразно исключить их из модели.

Dependent Variable: X1
Method: Least Squares
Date: 10/15/08   Time: 16:12
Sample: 1996:1 2007:1
Included observations: 45
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
@TREND()	317.2297	27.54176	11.51813	0.0000
@SEAS(4)	3607.172	1381.812	2.610465	0.0125
DT2006	-11706.42	4226.652	-2.769667	0.0083
R-squared	0.635981	Mean dependent var		7138.311
Adjusted R-squared	0.618647	S.D. dependent var		6595.572
S.E. of regression	4073.016	Akaike info criterion		19.52650
Sum squared resid	6.97E+08	Schwarz criterion		19.64694
Log likelihood	-436.3462	Durbin-Watson stat		0.679681

 

Полученная  модель обладает лучшими характеристиками, чем предыдущая. Проведем графический анализ остатков полученной модели (фактические данные-Actual, смоделированные-Fitted, остатки-Residual). Остатки колеблются около нуля.

Рис.4

Проверим  ряд остатков на стационарность с  помощью расширенного теста Дикки-Фуллера.

ADF Test Statistic	-2.459761	1%   Critical Value*		-2.6155
		5%   Critical Value		-1.9483
		10% Critical Value		-1.6197
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(RESID01)
Method: Least Squares
Date: 10/15/08Time: 16:29
Sample(adjusted): 1996:2 2007:1
Included observations: 44 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
RESID01(-1)	-0.316537	0.128686	-2.459761	0.0180
R-squared	0.120900	Mean dependent var		173.2249
Adjusted R-squared	0.120900	S.D. dependent var		3314.004
S.E. of regression	3107.221	Akaike info criterion		18.94331
Sum squared resid	4.15E+08	Schwarz criterion		18.98386
Log likelihood	-415.7528	Durbin-Watson stat		2.117477

 

Значение  статистики ADF меньше критического на 5% уровне значимости. Можно сделать вывод, что ряд остатков является TS, N.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчетная часть

Задача № 1

 

Имеются данные по 10 хозяйствам (таблица).

Номер хозяйства	Урожайность, ц/га, у	Внесено удобрений, кг/га, х
1	15	2,1
2	18	3,6
3	17	3,5
4	22	5,0
5	25	6,5
6	20	4,2
7	24	6,3
8	19	4,0
9	23	6,0
10	27	7,5

Задание:

1. Определите уравнение линейной регрессии и поясните смысл его параметров.
2. Найдите линейный коэффициент корреляции и детерминации. Поясните их смысл.
3. С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость уравнения регрессии в целом и его параметров. Постройте таблицу дисперсионного анализа результатов регрессии.
4. Вычислите среднюю ошибку аппроксимации.
5. Рассчитайте стандартную ошибку регрессии.
6. Постройте доверительный интервал для урожайности с вероятностью 0,95 в предположении, что объем внесенных удобрений увеличится на 500 г. от среднего уровня.

 

 

 

 

 

 

Решение:

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1

По расположению эмпирических точек можно предполагать наличие линейной корреляционной (регрессионной) зависимости между переменными  Х и У.

Поэтому уравнение регрессии будем искать в виде линейного уравнения У=b₁x+b₀

Согласно  методу наименьших квадратов неизвестные  параметры выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений У_i от значений У_теор, найденных по уравнению регрессии, была минимальной.

Коэффициент b₁ называется выборочным коэффициентом регрессии (или просто коэффициентом регрессии) Y по Х. Он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная Y при увеличении переменной Х на одну единицу.

Найдём:          

 

 

 

Y=2,266x+9,962 – уравнение регрессии. Можно сделать вывод, что при увеличении внесения удобрений Х на 1 га на один килограмм, урожайность в среднем увеличивается на 2,266 ц (в усл. ед.). Свободный член в данном уравнении не имеет экономического смысла.

2. Найдём  коэффициент корреляции, который  является показателем тесноты  линейной связи по формуле: 

 

 

 

Чем ближе  r к единице, тем теснее связь. У нас связь прямая тесная.

Одной из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии, (или как  говорят, мерой качества подгонки регрессионной  модели к наблюдённым значениям  y_i), характеристикой прогностической силы анализируемой регрессионной модели является коэффициент детерминации, определяемый по формуле в случае парной регрессионной модели:

 

Т. е. коэффициент  детерминации равен квадрату коэффициента корреляции

 

Величина  R² показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной (у нас урожайность) обусловлена вариацией (у нас внесение удобрений) объясняющей переменной.

3. Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальными данными и достаточно ли включённых в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Проверка  значимости уравнения проводится на основе дисперсионного анализа.

Таблица №1 дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты
Регрессия		m-1=2-1=1
Остаточная		n-m=10-2=8
Общая		n-1=10-1=9

 

Уравнение регрессии значимо на уровне a, если фактически наблюдаемое значение статистики

 

Где – табличное значение F – критерия Фишера – Снедекора, определяемое на уровне значимости a при k₁=m-1=2-1=1 и k₂=n-m=10-2=8 (n- объем выборки, m = 2 в случае парной линейной регрессии) степенях свободы. Значение F показывает, в какой мере регрессия лучше оценивает значение зависимой переменной по сравнению с её средней.

 

Так как, F_расч > F_табл , то уравнение регрессии в целом значимо.

Значимость  уравнения регрессии может быть проверена и другим способом, если оценить значимость коэффициента регрессии  b₁, который имеет t – распределение Стьюдента с k=n-2=10-2=8 степенями свободы.

Уравнение парной регрессии или коэффициент  регрессии b₁значимы на уровне a (иначе - гипотеза H₀ о равенстве параметра b₁ нулю, т.е. H₀: b₁=0, отвергается), если фактически наблюдаемое значение статистики больше критического (по абсолютной величине), т.е.

 

У нас 

F=t²           488    почти равно 22*22=483

Можно оценить  значимость коэффициента корреляции:

 

У нас 

Значит, коэффициент  корреляции значим.

4. Оценку  качества построенной модели (её  точности) даёт также средняя  относительная ошибка аппроксимации  (средняя относительная ошибка  модели), которая рассчитывается  по формуле:

Это означает, что в среднем расчетные значения отличаются от фактических значений на 0,04%.

Так как  =0,04% < 10%, то ошибка считается приемлемой, что говорит о хорошей точности модели.

5. Отклонение (ошибка) исходных данных y_i от рассчитанных по модели значений =y(x_i) вычисляется по формуле

.

где S_е – среднеквадратическое отклонение выборочных точек от линии регрессии ,

 

6. Осуществим  прогнозирование при a=0,05. Прогнозное значение признака y получается при подстановке в уравнение регрессии соответствующего прогнозного значения факторного признака x:

          Такой прогноз называется точечным. Значение факторного признака x_прог не должно значительно отличаться от входящих в исследуемую выборку (по которой определено уравнение регрессии). Точечный прогноз обычно сопровождают интервальным, поскольку трудно ожидать совпадения в будущем фактического значения y с _прог. Интервальный прогноз задается с помощью доверительного интервала: , где U – величина отклонения от линии регрессии.

Доверительный интервал – это интервал, в котором  с заданной вероятностью можно ожидать  появление фактического значения прогнозируемого  показателя.

           Величина U оценивается по формуле:

Находим недостающие  данные для расчета интервального  прогноза. Стандартная ошибка - S_e =0,516; рассчитаем с помощью программы Excel - Мастера функций – СТЬЮДРАСПОБР (0,1;8); его значение составит =1,86.

 

В результате имеем точечный прогноз (10,085; 12,105)

Нижняя граница = 11,095 - 1,01 = 10,085

Верхняя граница =11,095 + 1,01 = 12,105

Таким образом, с вероятностью 95% урожайность (Y, ц/га.) при ожидаемых объемах внесения удобрений (X, кг/га.), будет находиться в пределах от 10,085 ц/га. до 12,105 ц/га.

 

 

 

Задача № 2

 

Имеются данные о цене однокомнатной квартиры и величине ее общей площади по 10 сделкам одного района города (таблица):

Таблица №2

№ сделки	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Цена квартиры, тыс. долл., у	29	31	35	35	45	46	45	44	38	37
Площадь, м2, х	35	35	33	34	38	40	40	39	37	36

Задание:

1.     Постройте уравнение линейной регрессии.

2. Исследуйте гетероскедастичность остатков, построив графики зависимости остатков от значений фактора х и от расчетных значений результата. Примените тест ранговой корреляции Спирмэна с вероятностью 0,95.

Решение:

1. Найдём:          

 

 

Уравнение регрессии: У=2,13х-39,67

2. Построим  график зависимости остатков  от значений фактора Х и от расчётных значений результата.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.3

Использование графического представления позволяет  определиться с наличием гетероскедастичности (отсутствием гомоскедастичности), это проявляется в том, что  разброс остатков меняется в зависимости  от некоторой переменной х_i. У нас гетероскедастичность отсутствует, точки расположены хаотично. Теоретические значения У_i не зависимы от остатков.