Интегрируемые эконометрические процессы: оценка порядка интегрируемости, тесты на единичный корень

 

 

МИНОБРНАУКИ  РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

«Тверской государственный технический университет»

(ТвГТУ)

 

Факультет заочного высшего образования

 

Кафедра «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

 

 

 

К О Н Т Р О Л Ь Н А Я    Р А Б О Т А

по  дисциплине «Эконометрика»

на  тему: Интегрируемые эконометрические процессы: оценка порядка интегрируемости, тесты на единичный корень (показать на конкретном примере).

Вариант расчетной части № 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тверь, 2013 

Оглавление

 

Введение 3

Теоретическая часть 4

1. Нестационарные интегрируемые процессы 4

1.1 Нестационарные стохастические процессы. Нестационарные временные ряды 4

2. Тесты Дики-Фуллера 8

2.1 Модификации теста Дики-Фуллера для случая автокорреляции 9

2.2 Определение единичных корней методом Дики-Фуллера 9

2.3 Метод разностей и интегрируемость 12

2.4 Применение Теста Дики-Фуллера, проверка на стационарность 12

Расчетная часть 19

Задача № 1 19

Задача № 2 25

Заключение 29

Список литературы 30

 

 

Введение

 

В настоящее  время нестационарный анализ данных представляет большую практическую важность и востребованность в различных сферах человеческой деятельности: прогнозирование погоды в метеорологии, анализ функционирования организма человека в биомедицине, прогноз ценовых рядов на финансовых и сырьевых рынках, корректная обработка результатов социологических опросов. Модели стационарных процессов не отвечают потребностям специалистов в этих областях, поскольку они дают слишком большую ошибку. Поэтому построение статистически корректной модели случайного процесса, учитывающей свойство его нестационарности, является актуальной задачей. Трудность представляет математически строгое обоснование достоверности статистических оценок, а также вывод самой модели динамической системы из уравнений эволюции эмпирических статистик.

По теории случайных процессов существует огромное количество литературы, как учебно-методической, так и узко-специальной. В основном они посвящены исследованию стационарных процессов. Нестационарные процессы, изучаемые в относительно малом числе публикаций, чаще всего относятся к определенным функциональным классам, проверка принадлежности к которым реальных процессов является гораздо более трудной задачей, чем проверка их на стационарность. Таким образом, изучение нестационарных процессов как таковых является сравнительно новой областью исследований.

В эконометрике принято моделировать временной ряд как случайный процесс, называемый также стохастическим процессом, под которым понимается статистическое явление, развивающееся во времени согласно законам теории вероятностей. Случайный процесс - это случайная последовательность.

В данной работе были рассмотрены нестационарные стохастические процессы и нестационарные временные ряды, раскрыты основные понятия, рассмотрен Тест Дики-Фуллера и показан на конкретном примере.

Теоретическая часть

1. Нестационарные интегрируемые процессы

1.1 Нестационарные стохастические процессы. Нестационарные временные ряды

 

В эконометрике принято моделировать временной ряд как случайный процесс, называемый также стохастическим процессом, под которым понимается статистическое явление, развивающееся во времени согласно законам теории вероятностей. Случайный процесс - это случайная последовательность.

Стохастические  процессы подразделяются на стационарные и нестационарные. Стохастический процесс является стационарным, если он находится в определенном смысле в статистическом равновесии, т.е. его свойства с вероятностной точки зрения не зависят от времени. Процесс нестационарен, если эти условия нарушаются.

Признаком нестационарного стохастического  процесса является нарушение одного из условий стационарности. Конкретная реализация нестационарного стохастического  процесса представляет собой нестационарный временной ряд. Признаками нестационарности временного ряда могут служить наличие тенденции, систематических изменений дисперсии, периодической составляющей, систематически изменяющихся взаимозависимостей между элементами временного ряда.

Основная часть моделей  социально-экономического прогнозирования ориентирована на работу с временными рядами. Поэтому важно определить это понятие – «временной ряд». Прежде всего, следует указать на то, что в учебной и научной литературе часто вместо понятия «временной ряд» употребляют понятие «динамический ряд». Очевидно, что это – синонимические понятия, поэтому будем использовать как понятие «временной ряд», так и понятие «динамический ряд» в одном и том же контексте.

Существует  обширная литература, как отечественная, так и зарубежная, посвящённая анализу и прогнозированию временных рядов. В этой литературе

даются сущностные характеристики временных рядов, и  следует отметить, что

точки зрения на эти характеристики отличаются друг от друга в зависимости от

того, о временных  рядах каких показателей ведётся речь. Часто учёные, не вдаваясь в суть временного ряда, определяют его формально, например: «временные ряды – это барометр; они наглядно отображают наиболее существенные тенденции развития», или «одни ряды представляют собой последовательность чисел, отражающих величину того или иного показателя во времени. Это так называемые временные ряды или ряды динамики», или «временным рядом, хронологическим рядом, проще хроникой называют последовательность упорядоченных во времени наблюдений, обозначаемых, например, , , … , ,…,».

Временной ряд может формироваться в  разных условиях, которые предопределяют его характеристики и свойства. В наиболее общем случае временной ряд может быть обратимым или необратимым. Обратимый ряд может быть стационарным или нестационарным. Рассмотрим, как обычно определяют каждый из видов этой динамики. «Случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причём ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают сущностных изменений с течением времени, называются стационарными.

Условия стационарности заключаются в следующем:

1) ,

2) r (,)=r (τ), где τ=-. (1.1)

В экономической  практике в большинстве случаев  приходится иметь дело со случайными процессами, имеющими определённую тенденцию развития во времени. Эти процессы называются нестационарными. Характеристики нестационарных процессов меняются во времени, т.е. зависят от начала отсчёта».

Нестационарные процессы, в противоположность стационарным, отличаются тем, что они меняют все свои характеристики под воздействием какой-то причины, нарушившей «равновесие» процесса. Если же устранить эту причину и создать первоначальные условия, то процесс вновь повторит траекторию своего развития. Например, самолёт, осуществляющий полёт на заданной высоте, отклоняется от траектории движения под воздействием множества случайных факторов. Это движение является примером стационарного процесса. Тот же самый самолёт, переходящий в пике, демонстрирует нестационарный процесс. Но, если лётчик, выведет самолёт из этого пикирования, и вновь наберёт заданную высоту и будет двигаться с прежней скоростью, то процесс движения вновь станет стационарным. Как видно и стационарный, и нестационарный процессы являются обратимыми. Для моделирования нестационарных обратимых процессов используется процедура устранения влияния причины на траекторию моделируемого процесса – переходят, например, к разностным уравнениям которые становятся стационарными. То есть, с помощью специальных математических процедур нестационарные обратимые процессы можно привести к стационарным.

        Признаком нестационарного стохастического процесса является нарушение одного из условий стационарности. Конкретная реализация нестационарного стохастического процесса представляет собой нестационарный временной ряд. Признаками нестационарности временного ряда могут служить наличие тенденции, систематических изменений дисперсии, периодической составляющей, систематически изменяющихся взаимозависимостей между элементами временного ряда.

         Заметим, что, как правило, значения, характеризующие изменение экономических показателей во времени, образуют нестационарные временные ряды. [8]

         Рассмотрим авторегрессионный процесс первого порядка, определяемый моделью:

, (1.2)

где – процесс типа «белый шум» с = 0. При | | < 1 случайный процесс

будет стационарным. Процесс, определяемый соотношением при  = 1

, (1.3)

является  нестационарным и называется «случайным блужданием». Такие нестационарные процессы называют процессами единичного корня.

         Среднее процесса постоянно (1.4), а дисперсия var() = неограниченно возрастает с течением времени. Первые разности являются «белым шумом» и стационарны:

 

         Как показывает практика, рассматриваемые в эконометрических исследованиях нестационарные временные ряды чаще всего относятся именно к этому типу и проблема выявления нестационарности временного ряда сводится к проверке = 1 в модели . Соответствующие тесты называются «тестами единичного корня». [5]

 

 

 

 

 

 

2. Тесты Дики-Фуллера

 

 

Тест  Дики-Фуллера - это методика, которая  используется в прикладной статистике и эконометрике для анализа временных  рядов для проверки на стационарность. Был предложен в 1979 году Дэвидом  Дики и Уэйном Фуллером.

В англоязычной литературе встречается под названиями Dickey-Fuller test и unit root test. Unit root в дословном переводе с английского языка означает единичный корень.

         Тест Дики-Фуллера (Dickey-Fuller test, DF-тест) основан на оценке параметра (2.1) уравнения (2.2), эквивалентного уравнению авторегрессии. Его называют также тестом на единичный корень.

         Нулевая и ей альтернативная гипотезы определяются соотношениями: : λ = 0; : λ < 0.

         Если значение t-статистики Стьюдента для параметра λ меньше нижнего порогового значения DF-статистики, то нулевую гипотезу λ =0 (о наличии единичного корня =1) следует отклонить и принять альтернативную о стационарности процесса .

         Таблицы теста Дики-Фуллера (DF-теста) рассчитаны для уровней значимости в 1, 5, 10 %. Указанные в таблице значения DF-теста – отрицательные.

         DF-тест применим также для тестирования на единичный корень случайных процессов со смещением и со смещением и линейным детерминистическим трендом определяемых уравнениями:

, (2.3)

, (2.4)

где – константа, называемая смещением. При этом используются соответствующие таблицы критических значений DF-теста.

         Отметим, что на практике трудно различить ситуации, когда следует применять DF-тест, а когда – DF-тест со смещением. [5,8]

2.1 Модификации теста Дики-Фуллера для случая автокорреляции

 

         При наличии автокорреляции в остатках используется обобщенный тест Дики-Фуллера (ADF-тecт), согласно которому в правую часть уравнения регрессии в качестве дополнительных факторов включаются лаговые значения переменной из левой части

(2.5)

         Процедура тестирования, как и ранее, сводится к оценке значения t-критерия Стьюдента для параметра и сравнении его с критическими значениями для ADF-теста, которые совпадают с критическими значениями обычного DF-теста.

         Такой же подход, может быть применен и в случаях тестирования на единичный корень случайного процесса со смещением и случайного процесса со смещением и линейным детерминистическим трендом:

(2.6)

(2.7)

         Как и ранее, критические значения для ADF-теста те же самые, что и для обычного DF-теста. [5]

2.2 Определение единичных корней методом Дики-Фуллера

 

Дики и Фуллер (1979,1981) рассматривают процесс AR(1)

, t = 1,2,….. (2.8)

Нулевая гипотеза .

Против альтернативной .

         Т.е. нулевая гипотеза предполагает, что  нестационарен будучи случайным блужданием. Согласно альтернативной гипотезе, - стационарный процесс AR(1) [или интегрированный порядка ноль –I(0)], не рассматривается.

          На первый взгляд, можно построить  уравнение авторегрессии и проверить  гипотезу по критерию Стьюдента.  Но, как уже отмечалось, процедура  тестирования, базирующаяся на применении  метода наименьших квадратов,  к нестационарному ряду (а   нестационарен, если), может вводить в заблуждение, показывая значимость фактора в то время, как он таким не является.

          Процедура тестирования должна базироваться на такой модели, которая будет стационарной при принятии .

         Дики и Фуллер предложили приемлемый и простой метод тестирования на порядок интеграции, который берет за основу эквивалентное уравнение регрессии:

  (2.9)

где 

[действительно: ]. (2.10)

И строго говоря, DF-тест в качестве принимает утверждение:

Отсюда его  название – unit root test – тест на единичный корень.

Уравнение может быть представлено еще следующим образом:

 (2.11)

         Если в уравнении , , то в уравнении , (отрицательно) – означает стационарность процесса.