Интегрируемые эконометрические процессы: оценка порядка интегрируемости, тесты на единичный корень

         Тест DF состоит в проверке отрицательности - . Отклонение нулевой гипотезы () в пользу альтернативной () означает, что и процесс – I(0)

         Если - I(1), как предполагает нулевая гипотеза, уравнение , представляет регрессию I(0)–переменной по I(1)-переменной. Не удивительно, что - статистика имеет нестандартное распределение. Для ее использования требуются специальные таблицы. Такие таблицы были получены эмпирически, с использованием метода Монте-Карло. За основу был взят процесс AR(1) с .

          В силу эмпирического скорее, чем теоретического, характера таблиц, они содержат элемент неопределенности – дается не одно, а два теоретических значений – верхнее и нижнее. Если расчетное значение - статистики меньше, чем нижнее допустимое критическое значение, то гипотеза (нулевая гипотеза о единичном корне) отвергается, и принимается стационарность (цифры в таблице подразумеваются отрицательными). Если же расчетное значение - статистики больше верхнего допустимого значения критической величины, то отвергнута. Между верхними и нижними пределами зона неопределенности.

         Тест Дики-Фуллера может быть использован для проверки стационарности процессов, порожденных случайным блужданием с дрейфом, т.е. путем проверки уравнения:

(2.12)

Техника проверки аналогична. Эквивалентное (4) уравнение:

(2.13)

          Но с учетом того, что распределение t-статистики для - в этом случае другое, - обозначим его через - в основе лежит процесс случайного блуждания с дрейфом, используются другие критические значения.

          Еще одна модификация уравнения DF – включение линейного детерминированного тренда.

(2.14)

или (2.15)

          Это уравнение позволяет проверить отсутствие стохастического тренда () и существование детерминированного тренда (ß). Для этого теста составлены свои таблицы критических значений - .

Итак, если , то

• – стационарный процесс AR(1) с нулевым средним,

• – стационарный процесс AR(1) со средним ,

•  – стационарный процесс AR(1) вокруг линейного тренда, если .

          Недостаток теста DF заключается в том, что тест Дики-Фуллера имеет ограничения:

1.      Предположение о том, что переменная  следует авторегрессионному процессу первого порядка;

2.      Ошибки  нескоррелированы. [2]

2.3 Метод разностей и интегрируемость

 

         Для практики большой интерес представляют, так называемые, интегрируемые нестационарные процессы. Это процессы, для которых с помощью последовательного применения операции взятия последовательных разностей из нестационарных временных рядов можно получить стационарные ряды.

         Последовательные разности стохастического процесса определяются соотношениями:

 (2.16) – первые последовательные разности

 (2.17) – вторые последовательные разности и т. д.

         Если первые разности нестационарного ряда стационарны, то ряд называется интегрируемым первого порядка. Стационарный временной ряд называется интегрируемым нулевого порядка.

         Если первые разности нестационарного ряда нестационарны, а вторые разности стационарны, то ряд называется интегрируемым второго порядка. Если первый стационарный ряд получается после k-кратного взятия разностей, то ряд

 называется интегрируемым  k-го порядка. [5]

2.4 Применение Теста Дики-Фуллера, проверка на стационарность

 

Задание

          Исходный временной ряд в уровнях (тот же что и Л.р.№1) разложить на составляющие динамики с помощью фиктивных переменных. Построить графики фактического и смоделированного значения и остатков. Ряд остатков проверить на стационарность. Дать экономическую интерпретацию имеющихся структурных изменений.

Решение

          На первом шаге строим график показателя (рис.1) и визуально определяем наличие тренда и возможнее его изменения. В данном случае имеет место восходящий тренд и его излом в 2003 году и ярко выраженная сезонность.

Рис.1 Счет операций с капиталом  и фин.операций

 

Графический анализ указывает на присутствие  тренда. Проверим это с помощью  стандартной функции Eviews. Строим модель в которой исходная переменная x1  зависит от константы c (встроенный объект) и линейного тренда - @trend()

 

Dependent Variable: X1
Method: Least Squares
Date: 21/10/08   Time: 02:06
Sample: 1996:1 2007:1
Included observations: 45
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	-637.8019	1389.758	-0.458930	0.6486
@TREND()	353.4597	54.39932	6.497502	0.0000
R-squared	0.495409	Mean dependent var		7138.311
Adjusted R-squared	0.483674	S.D. dependent var		6595.572
S.E. of regression	4739.302	Akaike info criterion		19.80859
Sum squared resid	9.66E+08	Schwarz criterion		19.88889
Log likelihood	-443.6934	F-statistic		42.21753
Durbin-Watson stat	1.461013	Prob(F-statistic)		0.000000

Коэффициент при константе статистически  незначим на уровне 5%. Попробуем построить  без константы.

 

Dependent Variable: X1
Method: Least Squares
Date: 21/10/08   Time: 02:29
Sample: 1996:1 2007:1
Included observations: 45
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
@TREND()	331.9607	27.40509	12.11310	0.0000
R-squared	0.492937	Mean dependent var		7138.311
Adjusted R-squared	0.492937	S.D. dependent var		6595.572
S.E. of regression	4696.596	Akaike info criterion		19.76904
Sum squared resid	9.71E+08	Schwarz criterion		19.80918
Log likelihood	-443.8033	Durbin-Watson stat		1.454180

Тренд значим на 5% уровне.

Результаты  отобразим на графике (Рис.2).

Рис.2.

 

Попробуем выявить зависимость переменной от сезонных колебаний. Проведем исследование на сезонность в каждом из 4 кварталов  с помощью стандартной функции  seas пакета Eviews.

Dependent Variable: X1
Method: Least Squares
Date: 10/15/08   Time: 02:53
Sample: 1996:1 2007:1
Included observations: 45
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	7301.909	1160.410	6.292524	0.0000
@SEAS(1)	-613.4924	2247.125	-0.273012	0.7862
R-squared	0.001730	Mean dependent var		7138.311
Adjusted R-squared	-0.021485	S.D. dependent var		6595.572
S.E. of regression	6666.049	Akaike info criterion		20.49087
Sum squared resid	1.91E+09	Schwarz criterion		20.57117
Log likelihood	-459.0446	F-statistic		0.074536
Durbin-Watson stat	0.722930	Prob(F-statistic)		0.786151

 

Dependent Variable: X1
Method: Least Squares
Date: 10/15/08   Time: 02:54
Sample: 1996:1 2007:1
Included observations: 45
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	7922.676	1118.339	7.084326	0.0000
@SEAS(2)	-3208.767	2261.952	-1.418584	0.1632
R-squared	0.044707	Mean dependent var		7138.311
Adjusted R-squared	0.022491	S.D. dependent var		6595.572
S.E. of regression	6520.980	Akaike info criterion		20.44686
Sum squared resid	1.83E+09	Schwarz criterion		20.52716
Log likelihood	-458.0544	F-statistic		2.012379
Durbin-Watson stat	0.826864	Prob(F-statistic)		0.163228

 

Dependent Variable: X1
Method: Least Squares
Date: 10/15/07   Time: 02:55
Sample: 1996:1 2007:1
Included observations: 45
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	7413.294	1141.060	6.496846	0.0000
@SEAS(3)	-1124.930	2307.908	-0.487424	0.6284
R-squared	0.005495	Mean dependent var		7138.311
Adjusted R-squared	-0.017633	S.D. dependent var		6595.572
S.E. of regression	6653.469	Akaike info criterion		20.48709
Sum squared resid	1.90E+09	Schwarz criterion		20.56739
Log likelihood	-458.9595	F-statistic		0.237582
Durbin-Watson stat	0.721507	Prob(F-statistic)		0.628434

 

 

Dependent Variable: X1
Method: Least Squares
Date: 10/15/08   Time: 02:57
Sample: 1996:1 2007:1
Included observations: 45
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	5920.176	1080.760	5.477788	0.0000
@SEAS(4)	4983.278	2185.946	2.279690	0.0276
R-squared	0.107828	Mean dependent var		7138.311
Adjusted R-squared	0.087080	S.D. dependent var		6595.572
S.E. of regression	6301.862	Akaike info criterion		20.37850
Sum squared resid	1.71E+09	Schwarz criterion		20.45880
Log likelihood	-456.5163	F-statistic		5.196986
Durbin-Watson stat	0.606338	Prob(F-statistic)		0.027647

 

В 1, 2, 3 кварталах  коэффициенты при переменных, выражающих сезонность, статистически незначимы  на 5% уровне. В 4 квартале коэффициент  при SEAS(4) является статистически значимым на 5% уровне. Это указывает на возможное наличие постоянных сезонных колебаний в 4-ом квартале каждого года.

Попробуем ввести в модель фиктивные переменные.

Рис.3.

 

Посредством введения фиктивных переменных смоделируем  наиболее очевидные скачкообразные изменения рассматриваемого временного ряда. Введем 3 фиктивные переменные (по принципу близости по значению данных в периоды резких изменений).

DT 2002– в период с 2002:2 по 2002:4

DT 2004 - период с 2004:2 по 2004:4

DT 2006 – в период с 2006:1 по 2007:1

Введем  указанные переменные в модель, учитывающую  фактор сезонных колебаний в 4-ом квартале.

 

Dependent Variable: X1
Method: Least Squares
Date: 10/15/08   Time: 16:10
Sample: 1996:1 2007:1
Included observations: 45
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
@TREND()	312.4627	29.57098	10.56653	0.0000
@SEAS(4)	3507.811	1434.954	2.444545	0.0190
DT2002	15.31809	1166.868	0.013128	0.9896
DT2004	751.0172	1190.120	0.631043	0.5316
DT2006	-11510.97	4326.178	-2.660772	0.0112
R-squared	0.639598	Mean dependent var		7138.311
Adjusted R-squared	0.603557	S.D. dependent var		6595.572
S.E. of regression	4152.816	Akaike info criterion		19.60540
Sum squared resid	6.90E+08	Schwarz criterion		19.80614
Log likelihood	-436.1215	Durbin-Watson stat		0.633690