ПФ  называется однородной степени g, если

                      (1.18)

мультипликативная ПФ является однородной степени a₁ + a₂.

    Для однородных ПФ можно получить  выражение для нормы замены, как функцию только фондовооруженности. В самом деле, , где f(K) = F(k, 1), k = K/L – фондовооруженность,  поэтому

,              (1.19)

т.е. норма  замены является функций только фондовооруженности.

Для однородных ПФ вводится понятие эластичности замены труда фондами

  ,                       (1.20)

эта величина показывает на сколько  процентов  надо изменить фондовооруженность, чтобы добиться изменения нормы замены на 1%. Аналогично вводится и показатель эластичности замены фондов трудом, прямым счетом можно проверить, что s_L = s_K = s. Для мультипликативных ПФ s = 1.

 

Модель Солоу

  Модель  Солоу  является  односекторной  моделью экономического роста. В  этой модели экономическая  система  рассматривается  как единое целое, производит один универсальный продукт, который может как потребляться, так и инвестироваться. Модель достаточно адекватно отражает  важнейшие  макроэкономические  аспекты  процесса воспроизводства. Экспорт-импорт в явном виде  не учитывается.

  Состояние экономики в модели Солоу задается следующими пятью эндогенными переменными: X – валовой выпуск, С – фонд непроизводственного потребления, I – инвестиции, L – число занятых, К – фонды. Кроме того, в модели используются следующие экзогенные (заданные вне системы) показатели: n – годовой темп прироста числа занятых, m – доля выбывших за год основных производственных фондов, а – коэффициент прямых затрат (доля промежуточного продукта в валовом выпуске), r – норма накопления (доля валовых инвестиций  в конечном продукте). Экзогенные параметры находятся в следующих границах: -1< n <1, 0< m <1, 0< а <1, 0<r <1.

  Предполагается, что эндогенные переменные изменяются во времени (аргумент t опущен, но присутствует по умолчанию). Экзогенные переменные  считаются  постоянными во времени,  причем норма накопления является управляющим параметром, т.е. в начальный момент времени  может  устанавливаться управляющим органом системы на любом уровне из области допустимых значений.

  Время t  считается непрерывным.  Для мгновенных показателей L = L(t), К = К(t) это представляется совершенно естественным,  поскольку, в принципе,  в любой день можно установить число занятых и путем инвентаризации объем основных  производственных  фондов. Значения показателей типа потока X = X(t), I = I(t), C = C(t) в момент t = [t] + {t} определяются  как  накопленные за год, начинающийся на 365*{t} дней позже 1 января года [t].

  Предполагается, что годовой выпуск в каждый момент времени определяется линейно-однородной неоклассической производственной функцией  

X = F(K, L).                      (2.1)

  Рассмотрим, как меняются ресурсные показатели за небольшой промежуток времени t. Согласно определению темпа прироста

 

поэтому lnL = nt + lnA, L = Ae^nt

используя начальное условие L(0) = L₀, получаем

L = L₀e^nt.

  Износ и  инвестиции в расчете на год равны mК и I соответственно, а за время Dt - mКDt, IDt поэтому прирост фондов за это время равен

DK = - mКDt + IDt,

откуда  получаем дифференциальное уравнение

  К(0) = К₀.

  Поскольку промежуточный продукт равен  aX, то конечный продукт –

(1-а)Х , в том числе: инвестиции  – I = r(1 – a)X и фонд потребления –

C = (1 - r)(1 – a)X.

Итак, получили следующую запись модели Солоу в абсолютных показателях

    (2.2)

На рис. 2.1 приведена  схема функционирования экономики  согласно модели Солоу.

Введем следующие  относительные показатели:

k = K/L – фондовооруженность;

x = X/L – народнохозяйственная производительность труда;

i = I/L – удельные инвестиции (на одного занятого);

c = C/L – среднедушевое потребление (на одного занятого).

Поскольку

  

то модель Солоу приобретает следующую  форму в удельных показателях (подставляем  найденные выражения в (2.2) и делим обе части каждого соотношения на L)

   (2.3)

  Таким образом,  каждый  абсолютный или  относительный показатели изменяются во времени,  т.е.  можно говорить  о  траектории системы в абсолютных или относительных показателях.

  Траектория  называется стационарной, если относительные  показатели не изменяются во времени

k = k⁰ = const, x = x⁰ = const, i = i⁰ = const, c = c⁰ = const.

  Как видно из формул (2.3)  установление фондовооруженности на постоянном уровне k⁰ приводит к выходу на стационарную  траекторию. На стационарной траектории

   ,    (2.4)

  Поскольку F(K, L) – неоклассическая, то f(0) = 0, f’’>0, f ”<0. Если еще задать условие  r(1 – a)f’(0) > l, то уравнение (2.4) имеет единственное ненулевое решение k⁰, что видно из рис. 2.2.

  

      Рис. 2.2. Графическое  решение уравнения (2.4)

  На  этом рисунке через ^k обозначена фондовооруженность, при которой скорости роста функций g₁(k) = lk, g₂(k) = r(1 – a)f’(k) равны , т.е.^k – корень уравнения

 r(1 – a)f’(k) = l.        (2.5)

Переходный  режим в модели Солоу

 

  Если  k₀ = k⁰ , то экономика уже находится на стационарной траектории и может сойти с нее только при изменении внешних условий (установление другого значения нормы накопления,  либо переход к новым технологиям с изменением функции  F(K, L)).

  При k ¹ k⁰ в экономике будет происходить переходный процесс, который закончится установлением стационарного  режима. В переходном режиме фондовооруженность удовлетворяет уравнению

dk/dt = –lk + r(1 – a)f’(k), k(0) = k₀,      (2.6)

причем, как видно из рис. 2.2, при k < k⁰, dk/dt > 0,

а для  k > k⁰, dk/dt < 0.

Дифференцированием (2.6) находим

      (2.7)

откуда  видно, что при k < k⁰, k<^k рост фондовооруженности ускоряется при k < k⁰, k > ^k рост фондовооруженности замедляется , при k > k⁰  всегда , поскольку ^k < k⁰.

  Исследуем более детально переходный процесс  в  том  случае, когда производственная функция является функцией Кобба-Дугласа

F(K, L) = AK^aL^1-a  0 < a < 1,

тогда

а  уравнение  (2.6) принимает вид

dk/dt = –lk + r(1 – a) Ak^a , k(0) = k₀     (2.8)

  Сделав  замену k = e^-ltu, u = e^-ltk получаем для u уравнение с разделяющимися переменными

   

которое имеет следующее решение

или с  использованием значения стационарной фондовооруженности

Возвращаясь к фондовооруженности, имеем

откуда видно

  В соответствии с (2.7) получаем три типа переходного  процесса применительно к фондовооруженности:

1. при k₀ < ^k – вначале имеет место ускоренный рост фондовооруженности, который по достижении фондовооруженностью значения ^k сменяется замедленным ростом;
2. при ^k < k₀ < k⁰ – замедленный рост фондовооруженности;
3. при k₀ > k⁰ – замедляющееся падение фондовооруженности ("проедание" фондов).

   На рис.  2.3 показаны все три типа сходимости фондовооруженности к стационарному  значению k⁰.

  Рис. 2.3. Сходимость трех типов фондовооруженности.

  Точно такой  же характер имеет изменение и  остальных  относительных показателей  x, i, c, поскольку они пропорциональны k^a.

  Таким образом, при ^k < k₀ < k⁰ имеет место достаточно короткий переходный процесс.  Иными  словами теоретически переходный процесс заканчивается через бесконечно большое время, но практически через  относительно небольшой промежуток времени текущее и стационарное значения показателя будут различаться на  несколько  процентов.

"Золотое"  правило накопления

 

  Суть  этого правила состоит в том, что надлежащим выбором нормы  накопления можно максимизировать среднедушевое потребление в стационарном режиме, а следовательно, и через относительно непродолжительное время после начала переходного процесса.

  В самом деле

       (2.9)

где

    .

  Как видим поведение среднедушевого потребления целиком определяется поведением функции  .