Производственная функция Канады

 – предельный продукт фондов, предельная фондоотдача (предельная эффективность фондов),

  – предельный продукт труда, предельная производительность труда (предельная эффективность труда).

  Для мультипликативной функции из (1.3) вытекает, что предельная производительность труда пропорциональна с коэффициентом a₂ средней производительности труда , а предельная фондоотдача – средней фондоотдаче с коэффициентом a₁

                          (1.4)

  Из (1.4) вытекает, что при a₁ < 1, a₂ < 1  предельные отдачи факторов меньше средних; при этих же условиях мультипликативная функция обладает свойством 3, очень часто выполняющимся в реальной экономике: с ростом затрат ресурса его предельная отдача падает

           (1.5)

  Перейдем  теперь к экономической интерпретации  параметров A, a₁, a₂ мультипликативной ПФ. Параметр А обычно интерпретируется как параметр нейтрального технического прогресса: при тех же a₁, a₂ выпуск в точке (K,L)  тем больше, чем больше А. Для интерпретации a₁, a₂ необходимо ввести понятие эластичностей как логарифмических производных факторов

,                      (1.6)

  Поскольку в нашем случае  lnX = lnA + a₁lnK + a₂lnL, то

,

т.е. a₁ – эластичность выпуска по основным фондам, a₂ – эластичность выпуска по труду.

  Из (1.6) видно, что коэффициент эластичности фактора показывает, на сколько процентов изменится выпуск, если фактор увеличится  на 1%.

  Если a₁ > a₂, то имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном случае фондосберегающий ( экстенсивный) рост.

Рассмотрим  темп роста выпуска

,                       (1.7) 

если  возвести обе части (1.8) в степень  , то получим соотношение

                     (1.8)

в котором  справа – взвешенное среднегеометрическое темпов роста затрат ресурсов, при этом в качестве весов выступают относительные эластичности факторов

.

  При a₁ + a₂ > 1 выпуск растет быстрее, чем в среднем растут факторы, а при a₁ + a₂ < 1 – медленнее. В самом деле, пусть факторы растут (т.е.  K_t+1 > K_t, L_t+1 > L_t), тогда согласно (1.7) и выпуск растет (т.е. X_t+1 > X_t), то при a₁ + a₂ > 1

,

т.е. действительно, темп роста выпуска больше среднего темпа роста факторов. Таким образом, при a₁ + a₂ > 1 ПФ описывает растущую экономику.

  Линией  уровня на плоскости K, L или изоквантой называется множество тех точек плоскости, для которых F(K, L) = X₀ = const. Для мультипликативной ПФ изокванта имеет вид

AK^a1L ^a2 = X₀ = const, или K^a1 = (X₀/A)L^-a2,

т.е. является степенной гиперболой, асимптотами  которой служат оси координат.

  Для разных K, L, лежащих на конкретной изокванте выпуск равен одному и тому же значению X₀, что эквивалентно утверждению, что имеет место взаимозаменяемость ресурсов.

  Поскольку на изокванте F(K, L) = X₀ = const, то

,                     (1.9)

в этом соотношении  , поэтому dK и dL имеют разные знаки: если dL < 0 , что означает убывание труда, то dK > 0 , т.е. выбывший в объеме |dL| труд замещается фондами в объеме dK.

  Поэтому естественно следующее определение, вытекающее из (1.9). Предельной нормой замены S_K труда называется отношение модулей дифференциалов ОФ и труда

,                    (1.10)

соответственно  предельная норма замены S_L фондов трудом

  ,  при  этом  S_KS_L = 1.

  Для мультипликативной функции норма  замещения труда фондами пропорциональна  фондовооруженности

,

что совершенно естественно: недостаток труда можно компенсировать его лучшей фондовооруженностью.

  Изоклиналями  называются линии наибольшего роста  ПФ. Изоклинали ортогональны линиям нулевого роста, т.е. изоквантам. Поскольку направление  наибольшего роста в каждой точке  (K,L)  задается градиентом , то уравнение изоклинали записывается в форме .

  В частности, для мультипликативной  ПФ , поэтому изоклиналь задается дифференциальным уравнением 1/a₁KdK = 1/a₂LdL, которое имеет решение

,

где (L₀,K₀) – координаты точки, через которую проходит изоклиналь. Наиболее простая изоклиналь при a = 0 представляет собой прямую.

.

На рис.1.1 изображены изокванты и изоклинали мультипликативной ПФ.

   При изучении факторов роста экономики  выделяют экстенсивные факторы роста ( за счет увеличения затрат ресурсов, т.е. увеличения масштаба производства) и интенсивные факторы роста ( за счет повышения эффективности  использования ресурсов).

  Возникает вопрос: как с помощью ПФ выразить масштаб и эффективность производства? Этот вопрос поддается сравнительно простому разрешению, если выпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах, например, представлены в соизмеримой стоимостной форме. Однако проблема соизмерения настоящего и прошлого труда до сих пор не решена полностью удовлетворительным образом. Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безразмерным) показателям.

    В относительных  показателях  мультипликативная ПФ записывается  следующим образом:

,                       (1.11)

где X₀, K₀, L₀ – значения выпуска и затрат в базовый год.

Безразмерная  форма (1.11) легко приводится к первоначальному виду

 

  Таким образом, коэффициент    получает естественную интерпретацию – это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском.

  Если  обозначить выпуск и ресурсы в  относительных (безразмерных) единицах измерения через  , то ПФ в форме (1.11) запишется так

                          (1.13)

  Найдем  теперь эффективность экономики, представленной ПФ (1.13). Напомним, что эффективность  – это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов К и настоящего труда L. Поэтому имеются два частных показателя эффективности: X/K – фондоотдача, X/L –  производительность труда.

  Поскольку частные показатели эффективности  имеют одинаковую размерность (точнее одинаково безразмерны), то можно  находить любые средние из них. Так  как ПФ в мультипликативной форме, то и среднее естественно взять в такой же форме, т.е. в форме среднегеометрического.

  Итак, обобщенный показатель экономической  эффективности есть взвешенное среднегеометрическое частных показателей экономической  эффективности

,                       (1.14)

в котором  роль весов выполняют относительные  эластичности ,  , т.е. частные эффективности участвуют в образовании обобщенной эффективности с такими  же приоритетами, с какими входят соответствующие ресурсы в ПФ.

    Из (1.14) вытекает, что с помощью  коэффициента экономической эффективности  наша ПФ преобразуется в форму,  внешне совпадающую с функцией  Кобба-Дугласа

,                          (1.15)

но в соотношении (1.14) Е – не постоянный коэффициент, а функция от (K,L).

  Поскольку масштаб производства M проявляется  в объеме затраченных ресурсов, то по тем же соображениям, которые  были приведены при расчете обобщенного  показателя экономической эффективности, средний размер использованных ресурсов (т.е. масштаб производства) равен

.                           (1.16)

  Из (1.14) и (1.15) вытекает, что выпуск X есть произведение экономической эффективности и масштаба производства

.                            (1.17)

  При движении по прямой K=aL (т.е. по линиям постоянной фондовооруженности)

,

т.е. эффективность  будет возрастать, если a₁ + a₂ > 1 , а масштаб растет пропорционально числу занятых.

  Если  число занятых фиксировано, то эффективность будет расти пропорционально К,  т.е. только при a₁ + a₂ > 1, а масштаб – пропорционально К. Таким образом, экономика эффективно растущая, если a₁ + a₂ > 1. При a₁ + a_{2 =} 1, что соответствует функции Кобба-Дугласа, экономика имеет постоянную эффективность.