Автоматизированное проектирование системы управления технологическим процессом производства цемента

L{w(t)}=W(p),   w(t)=h^’(t) ,  L{h(t)}=W(p)/p

      При нулевых начальных условиях  связь между выходными и входными  сигналами описывается интегралом  свертки:

                         ,    

или в  операторной форме:

                              Y(p) = W(p)*U(p) .    

Частотной  характеристики. Частотные характеристики объекта определяются его комплексным коэффициентом передачи W(jω). Модуль комплексного коэффициента передачи │W(jω)│= A(ω) представляет собой амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) объекта с передаточной функцией W(p), а аргумент arg(W(jω))=φ(ω) – фазочастотную характеристику (ФЧХ). Графическое представление W(jω), на комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞, то есть график амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) в полярных координатах в отечественной литературе называется годографом, а в англоязычной – диаграммой Найквиста. В теории автоматического управления часто используется логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ), равная 20 lg │W(jω) │.

      В 70-е годы 20 века Розенброком был создан метод «размытых» частотных характеристик, предназначенный для автоматизированного проектирования систем с несколькими входами и выходами, ориентированный на использовании средств вычислительной техники и названный в последствие методом переменных состояния (МПС). В основе этого метода лежит представление дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, которое дополняется алгебраическими уравнениями, связывающими выходные переменные с переменными состояния:

x’ = Ax + Bu

                                  y = Cx,      

где  u – вектор входных воздействий; y – вектор выходных воздействий; x – вектор переменных состояния; A, B, C – матрицы коэффициентов размерности n x n, n x m, r x n соответственно; n – число переменных состояния или максимальная степень производной исходного дифференциального уравнения; m – число входов; r – число выходов.

       Математическим аппаратом метода переменных состояния являются матричное исчисление и вычислительные методы линейной алгебры. Метод переменных состояния содействовал значительному развитию теории управления. На языке МПС выполнена большая часть работ по оптимальному управлению, фильтрации и оцениванию.

       Для  систем с одним входом  и одним выходом уравнения  переменных состояния можно сформулировать  следующим образом. При выборе  n координат системы (объекта) в качестве переменных ее состояния (такими координатами, например, могут быть выходной сигнал y(t) и n-1 его производных) принимаем x_i , i = 1,2,…, n и данную систему можно описать следующими уравнениями для переменных состояния:

х′(t) = Aх(t) + Bu(t),

y(t)  = Cх(t) + Du(t),

где х(t) = [x₁(t),x₂(t),…,x_n(t) ]^t – вектор-столбец переменных состояния; A, B, C, и D при скалярных u(t) и y(t) – соответственно матрица размера n n, векторы размера n 1 и      1 n и скаляр (при векторных u(t) и y(t) – матрицы соответствующих размеров).

       Для дискретных объектов, функционирование  которых представляется дискретным  временем t_k = kT (T – интервал дискретизации), наиболее общим видом описания является разностное уравнение (аналог дифференциального):

y_k +a₁y_k-1 + ... +a_nay_{k – na} = b₁u_k + b₂u_{k – 1} + b₃u_{k  - 2} + ... + b_nbu_{k – nb + 1} ,

где y_{k – i} = y[(k – i)T] ,  u_{k – j} = u[(k – j)T] .

      Связь между входом и выходом может быть отражена следующими соотношениями:

• через  дискретную свертку:

,

где ω – ординаты решетчатой весовой функции объекта, или, с использованием аппарата Z – преобразования:

,  где  z = e ^pT

• через  дискретную передаточную функцию:

,

которая определяется на основании разностного уравнения после применения к обеим частям этого уравнения Z – преобразования:

       На практике в большинстве  случаев измерение непрерывных  сигналов производится в дискретные  моменты времени, что представляет  определенное удобство при последующей  обработке данных на ЭВМ. Поэтому  представление непрерывных объектов  дискретными моделями является  актуальной задачей. Хотя такое  представление может быть осуществлено  с некоторой степенью приближенности.

2. 3.  Виды моделей пакета System Identification Toolbox

      Одним из расширений MATLAB является пакет System Identification Toolbox, который содержит средства для создания математических моделей линейных динамических систем, на основе наблюдаемых входных и выходных данных. Он имеет удобный графический интерфейс, позволяющий организовывать данные и создавать модели.

       Приведем несколько распространенных  моделей дискретных объектов, используемых  в пакете System Identification Toolbox  для временной области, учитывающих действие шума наблюдения:

• Модель авторегрессии AR (AutoRegressive) – считается простым описанием:

A(z) y(t) = e(t) , где A(z) = 1 + a₁z ^{– 1} + a₂z ^{– 2} +...+ a _naz ^{– na} .

• ARX – модель (Autoregressive with eXternal input) – более сложная модель:

A(z)y(t) = B(z) u(t) + e(t) ,

       Здесь и ниже e(t) – дискретный белый шум.

.

• ARMAX-модель (AutoRegressive-Moving Average wiht eXternal input – модель авторегрессии скользящего среднего

):

,

где  nk – величина задержки (запаздывания),

.

• Модель «вход-выход» (в иностранной литературе такая модель называется «Output-Error», то есть «выход-ошибка», сокращенно ОЕ):

 ,

где  .

• Модель Бокса-Дженкинса (BJ):

,

полиномы  B(z), F(z), C(z) определены ранее, а полином D(z) определяется по формуле:

.

Данные  модели можно рассматривать, как  частные случаи обобщенной параметрической  линейной структуры:

,

при этом все они допускают расширение для многомерных объектов (имеющих  несколько входов и выходов).

• Модель для переменных состояния (State-space):

,

     ,

где A, B, C, D – матрицы соответствующих размеров, v(t) – коррелированный белый шум наблюдений. Возможна и другая (так называемая обновленная или каноническая) форма представления данной модели:

        ,

,

где К – некоторая матрица (вектор столбец), е(t) – дискретный белый шум (скаляр).

         В своей работе пакет System Identification Toolbox использует три внутренних вида матричного представления моделей, которые с помощью операторов и функций пакета преобразуются во все выше перечисленные виды моделей объектов:

            ● так называемый тета-формат (для временных моделей);

            ● частотный формат (для частотных моделей);

            ● формат нулей и  полюсов.

2. 4. Основные операторы  и функции пакета  System Identification Toolbox

       Приведем основные операторы и функции пакета System Identification Toolbox, которые набираются в командной строке MATLAB или могут быть использованы при написании программ для m-файлов. Наиболее полную информацию о содержании, написании и использовании этих функций можно получить в литературе [2] и справочной части help MATLAB.

    idhelp – используется для вызова подсказаки о возможностях пакета.

    iddemo – используется для вызова демонстрационных примеров.

    ident – команда вызова графического интерфейса пользователя.

    midprefs – команда задает (изменяет) директорию для файла midprefs.mat,хранящего информацию о начальных параметрах графического интерфейса мользователя при его открытии.

    predict – команда осуществляет прогноз выхода объекта по его ттета-модели и сучетом информации о его предыдущих фактических значениях выхода ( рекомендуется для расчета прогноза значений временной последовательности).

    pe – вычисляет ошибку модели при заданном входе и известном выходе объекта.

   idsim – возвращает выход модели тета-формата.

   iddata – создает файл объекта данных.

  detrend – удаляет тренд из набора данных.

     idfilt – команда фильтрует данные  с помощью фильтра Баттерворта.

     idinput -  команда генерирует входные сигналы для идентификации.

    merge – объединяет несколько экспериментов.

    misdata – оценивает и заменяет потерю входных и выходных данных в файле созданном с помощью команды iddata.

    esample – восстанавливает форму квантованного сигнала данных прореживанием и интерполяцией и изменяет частоту дискретизации.

                                    Функции непараметрического  оценивания:

    covf – выполняет расчет авто - и взаимных корреляционных функций совокупности экспериментальных данных.

    cra – определяет оценку импульсной характеристики методом коррелированного анализа для одномерного (один вход – один выход) объекта.

   etfe – возвращает оценку дискретной передаточной функции для обобщенной линейной модели одномерного объекта в частотной форме.

    impulse – выводит на дисплей импульсную характеристику модели.

    spa – возвращает частотные характеристики объекта и оценки спектральных плотностей его сигналов для обобщенной линейной модели  объекта (возвращает модель объекта в частотном формате).

    step – выводит на дисплей переходную (временную) характеристику модели объекта (реакция на единичное ступенчатое воздействие).

                   
 

Функции параметрического оценивания:

   ar – оценивает параметры модели авторегрессии (AR), то есть коэффициенты полинома A(z), при моделировании скалярных временных последовательностей.

    armax – оценивает параметры модели ARMAX.

    arx – оценивает параметры моделей ARX и AR.

    bj – оценивает параметры модели Бокса-Дженкинса.

    Ivar – оценивает параметры скалярной AR-модели.

    iv4 – оценивает параметры для моделей ARX с использованием четырехступенчатого метода инструментальной переменной.