Автоматизированное проектирование системы управления технологическим процессом производства цемента

>> compare(zdane,zn4s,zpem,zoe,zbj,darx,darmax).

где:      zdane – выход объекта;

           zn4s,zpem,zoe,zbj,darx,darmax – выходы моделей zn4s,zpem,zoe,zbj,darx,darmax

Рис. 2. 11. Графики выходов объекта и моделей.

        Результатом выполнения команды  является вывод графика выходов  объекта и построенных моделей  (Рис. 2. 11). На графике цветными линиями представлены выходы полученных моделей и значения критерия адекватности, выраженного в процентах. Наилучшие показатели имеют модели darx, zn4s и zpem.

       Для проверки адекватности модели  zn4s воспользуемся функцией:

>>compare(zdane,zn4s)

       Результат выполнения команды  является вывод графика объекта на рис. 2. 12.

Рис. 2. 12. Графики выходов объекта и модели zn4s. 

         В пакете System Identification Toolbox MATLAB имеется возможность прогнозировать ошибку моделирования при заданном входном воздействии u(t) и известной выходной координате объекта y(t). Оценивание производится методом прогноза ошибки Preictive Error Method, сокращенно PEM, который заключается в следующем. Пусть модель исследуемого объекта имеет вид так называемой обобщенной линейной модели

                        y(t) = W(z) u(t) + v(t),    

где W(z) – дискретная передаточная функция любой из ранее рассмотренных моделей. При этом шум v(t) может быть представлен как

                        v(t) = H(z) e(t),     

где e(z) – дискретный белый шум, который собственно и характеризует ошибку модели; H(z) – некоторый полином от z, приводящий дискретный белый шум к реальным помехам при измерении выходных параметров объекта.

         Из данных выражений следует,  что

                        e(t) = H^-1(z) [y(t) – W(z) u(t)].   

       Функция resid вычисляет остаточную ошибку e для заданной модели, а также r – матрицу значений автокорреляционной функции процесса e(t) и значения взаимокорреляционой функции между остаточными ошибками e(t) и выходами объекта автоматизации y(t) вместе с соответствующими 99 %-ми доверительными коридорами. Кроме указанных значений выводятся графики данных функций. В качестве примера сравним остаточные ошибки и соответствующие корреляционные функции для полученных моделей darx и zbj, имеющих максимальную и минимальную оценки адекватности с помощью команд:

                           >> [e,r]=resid(zdan,darx)

                           >> [e1,r1]=resid(zdan,zbj)

                           

          Приведенные графики (рис. 2. 13 и 2 14) характеризуют равномерное распределение остаточных ошибок во всем диапазоне изменения интервалов времени τ. Причем значения остаточных ошибок для модели darx  практически в два раза больше, чем для модели zbj. Для вывода графиков необходимо выполнить команду resid(r).

     

Рис. 2. 13. График автокорреляционной и взаимокорреляционной функций для модели zbj

Рис. 2. 14. График автокорреляционной и взаимокорреляционной функций для модели darx

              После выполнения функции:

[e,r]=resid(zdan,darx)

MATLAB возвращает:

Time domain data set with 1097 samples.

Sampling interval: 0.08                

                                       

Outputs             Unit (if specified)

   e@температура       гр.С 100                                               

Inputs              Unit (if specified)

   u1                                                                          

r =

  1.0e+003 *

Columns 1 through 8 

    0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000    0.0000   -0.0000

    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000   -0.0000    0.0000   -0.0000   -0.0000

    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000   -0.0000    0.0000   -0.0000   -0.0000

    0.0002    0.0000   -0.0000    0.0000    0.0000   -0.0000   -0.0000    0.0000 

  Columns 9 through 16 

   -0.0000   -0.0000    0.0000   -0.0000   -0.0000    0.0000   -0.0000   -0.0000

   -0.0000   -0.0000   -0.0000    0.0000    0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000    0.0000   -0.0000    0.0000   -0.0000

   -0.0000   -0.0000   -0.0000    0.0000   -0.0000    0.0000    0.0000    0.0000 

  Columns 17 through 24 

   -0.0000   -0.0000    0.0000   -0.0000    0.0000    0.0000   -0.0000   -0.0000

   -0.0000   -0.0000    0.0000   -0.0000    0.0000    0.0000    0.0000   -0.0000

    0.0000    0.0000   -0.0000   -0.0000    0.0000    0.0000   -0.0000   -0.0000

    0.0000    0.0000    0.0000   -0.0000    0.0000   -0.0000    0.0000   -0.0000 

  Columns 25 through 27 

    0.0000    1.0970    0.0010

   -0.0000         0         0

    0.0000         0         0

   -0.0000         0         0

После выполнения команды >> resid(r) выводится график автокорреляционной и взаимокорреляционной функций для модели.

        Таким образом, в ходе оценки  адекватности различных моделей  объекта автоматизации технологического  процесса тепловой обработки  материалов определены модели  darx, zn4s и zpem, значения критерия адекватности которых максимальны и,  следовательно, могут  быть  использованы в дальнейшем при анализе и синтезе систем автоматизации.

2. 11. Анализ модели технического объекта управления

       Для анализа модели ТОУ возьмем модель zn4s, имеющую один из наилучших показателей адекватности.

• zzn4s –  дискретная модель в виде передаточной функции

                                                

0.1327 z^2 + 0.1566 z + 0.0575

------------------------------------

z^3 - 0.3799 z^2 - 0.281 z + 0.07493 

• sysn4s –  непрерывная модель в виде передаточной функции 

                             

-0.891 s^2 + 77.33 s + 746.9

---------------------------------

s^3 + 32.39 s^2 + 308.9 s + 891.7

        Приведенные виды являются одной  и той же моделью, записанной  в разных формах и форматах. Проанализируем динамические характеристики  модели. Построим переходную характеристику  ТОУ для дискретной и непрерывной  моделей и определим основные  показатели переходного процесса. Для этого можно воспользоваться  функцией step. Функция step рассчитывает и строит реакцию модели на единичную ступенчатую функцию, т. е. возвращает переходную функцию системы:

step(sys)

step(sys, t)

step(sys1,sys2,….,sysN, t)

step(sys1,’PlotStyle1’,….,sysN, ’PlotStyleN’)

[y,t,x] =  step(sys)

       Для моделей, заданных в пространстве состояний, начальные условия принимаются нулевыми. Аргументы функции следующие:

• sys,sys1,sys2,….,sysN – имена моделей для которых строятся переходные функции;
• t – аргумент, задающий момент окончания моделирования – либо в форме t = Tfinal (в секундах), либо в форме t = 0:dt:Tfinal.

       Для дискретных моделей значение  dt должно равняться интервалу дискретизации, для непрерывных моделей – быть достаточно малым, чтобы учесть наиболее быстрые изменения переходного процесса;

• ’PlotStyle1’,….,’PlotStyleN’ – строковые переменные, задающие стили (типы линий) при выводе нескольких графиков одновременно.

       Возвращаемые величины:

• графики переходных процессов;
• y, x, t – соответственно, векторы, содержащие значения переходного процесса, переменных состояния и моментов времени (при возвращении данных величин график переходного процесса не отображается).

    Выполним  построение переходной характеристики ТОУ, представленной дискретной zzn4s инепрерывной sysn4s моделями и определим основные показатели переходного процесса, используя функцию step:

>>step(zzn4s,sysn4s)

     После выполнения команды step MATLAB возвращает графики переходного процесса (Рис. 2. 15). Нажатие левой клавиши мыши в любом месте на графике переходного процесса приводит к появлению всплывающей информационной подсказки о величине текущего численного значения переходного процесса и моменте времени.

  

     Нажатие правой клавиши в любом  месте на графике переходного  процесса приводит к появлению  всплывающего меню редакции окна  всплывающей информационной подсказки.

Рис.2. 15. Графики переходных процессов модели zzn4s и sysn4s

         На графиках переходных процессов ступенчатой линией представлен переходной процесс дискретной модели, а сплошной линией – непрерывной модели. Кроме того, в поле графика указаны основные характеристики переходного процесса:

• время  регулирования (Setting time) – 0,769 с для обоих моделей;

• установившееся значение выходной координаты – 0,838 для обеих моделей.

        Для построения импульсной характеристики  моделей необходимо воспользоваться  командой:

>>impulse(zzn4s,sysn4s).

        После выполнения команды impulse MATLAB возвращает графики (Рис. 2. 16).

        Основными характеристиками модели  ТОУ при подаче на вход единичного  импульсного воздействия являются:

• пиковая  амплитуда (Peak amplitude) составляет для дискретной модели 0,207 а для непрерывной – 2,79.

• время  регулирования составляет для дискретной модели 0,922 и для непрерывной модели – 0,863 с.

        Для определения статического коэффициента усиления модели ТОУ можно использовать команду dcgain:

>> k=dcgain(sysn4s)

После выполнения команды получим:   k =  0.8376.

Рис. 2. 16. Графики импульсной характеристики

         Для определения частотной характеристики моделей используем команду bode:

 

Рис.2. 17. Частотные характеристики моделей

  Выполним построение частотной характеристики ТОУ, представленной дискретной zzn4s и непрерывной sysn4s моделями (Рис. 2. 17).

    На графиках частотных характеристик указаны значения запасов устойчивости по амплитуде (Gain Margin), которые для дискретной модели составляет 29,7 dB, а для непрерывной модели – бесконечность.

        Значения запасов устойчивости  можно определить также и в  режиме командной строки MATLAB с  помощью команд:

>> [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sysn4s) – для непрерывной модели:

        MATLAB возвращает:

Gm =

   26.5077

Pm =

   Inf

Wcg =

   48.5667

Wcp =

<