Шпаргалка по "Физике"

Уравнение движения абсолютно твёрдого тела

Где первые три уравнения – уравнения поступательного движения (движения центра масс), остальные – уравнения вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

25. Вращение твёрдого тела относительно неподвижной оси. Уравнения движения.

Вращением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется движение твёрдого тела, при котором все точки прямой, жёстко связанной с телом, остаются неподвижными. Прямая называется осью вращения тела. Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы. Его положение однозначно определяется значением угла поворота вокруг оси вращения из некоторого условно выбранного начального положения этого тела.

Уравнение динамики тела вращающегося вокруг неподвижной оси имеет вид:

dLz/dt=Mzвнеш., где Lz – является моментом импульса вращающегося тела относительно оси вращения, а Mzвнеш – главный момент внешних сил.

26. Момент инерции тела относительно неподвижной оси. Теорема Штейнера.

Величина I, равная сумме произведений масс mi всех материальных точек, образующих механическую систему, на квадраты их расстояний ρi от данной оси, называется моментом инерции системы относительно этой оси.

Подсчёт момента инерции тела относительно произвольной оси облегчается ,если воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции Ia тела относительно произвольной оси а равен сумме момента инерции IС тела относительно параллельной ей оси аС, проходящей через центр масс С тела, и произведение массы m на квадрат расстояния d между этими осями.

Ia=IС+md2 (26.1)

Доказательство:

а и аС – оси, dm – масса малого элемента тела, ρ, ρС – расстояние от малого элемента тела до осей а и аС. По теореме косинусов: ρ2=ρС2+d2+2dρСcosφ и Ia=∫(m)ρ2dm=∫(m) ρС2dm+md2+2d∫(m)x*dm, где x*=ρСcosφ – абсцисса элемента dm тела в системе координат с началом в центре масс тела и осью абсцисс, пересекающей оси а и аС и лежащий в перпендикулярной им плоскости. Из определения центра масс следует, что ∫(m)x*dm=mx*C=0, так как центр масс тела совпадает с началом координат. Таким образом, справедливость соотношения (26.1) доказана.

27. Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси.

Рассмотрим абсолютно твёрдое тело, вращающееся около неподвижной оси, проходящей через тело. Мысленно разобьём это тело на маленькие объёмы с элементарными массами m1, m2,…,mn, находящиеся на расстоянии r1, r2,…, rn, от оси вращения. При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объёмы опишут окружности различных радиусов ri и имеют различные линейные скорости υi. Кинетическую энергию вращающегося тела найдём как сумму кинетических энергий его элементарных объёмов.

Tвр=∑ni=1miυi2/2=∑ni=1miω2ri2/2=(ω2∑ni=1miri2)/2=Izω2/2, где Iz – момент инерции тела.

28. Плоское движение.

Плоское движение – это такое движение, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости; это движение, при котором все перемещения лежат в параллельных плоскостях, а оси всех вращений перпендикулярны этим плоскостям. Любое плоское движение можно представить как результат поступательного движения и «чистого» вращения. В качестве примера плоского движения можно рассмотреть движение кабина колеса обозрения.

В случае плоского движения тела энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

,

где m – масса катящегося тела; υС – скорость центра масс тела; IС – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω – угловая скорость тела.

29. Свободные оси. Гироскопы.

Для того чтобы сохранить положение оси вращения твёрдого тела с течением времени неизменным, используют подшипники, в которых она удерживается. Однако существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на неё внешних сил. Эти оси называются свободными осями (или осями свободного вращения). Можно доказать, что в любом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями), и называются главными осями инерции тела).

Гироскопы – массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси симметрии, являющейся свободной осью. Одна из разновидностей гироскопов – гироскоп на кардановом подвесе.

Если момент внешних сил относительно закрепленного центра масс гироскопа равен нулю, то момент импульса гироскопа сохраняет свою величину и направление в пространстве. L=const. Следовательно, сохраняет свое положение в пространстве и ось гироскопа.

Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу относительно его центра масс, отличен от нуля, то наблюдается явление гироскопического эффекта. Оно состоит в том, что под действием пары сил, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа поворачивается вокруг прямой, находящейся под углом 45° к ней, а не вокруг прямой, перпендикулярной к ней.

Если ось гироскопа закреплена подшипниками, то вследствие гироскопического эффекта возникают так называемые гироскопические силы, действующие на опоры, в которых вращается ось гироскопа. Гироскопические силы имеют смысл только во вращающейся системе отсчёта и являются частным случаем кориолисовой силы инерции.

30. Колебания и характеризующие их величины. Собственные колебания.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определённой повторяемостью во времени.

Свободными (собственными) колебаниями называются колебания, которые происходят в отсутствии переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия; колебания, которые совершаются за счёт первоначально сообщённой энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонических колебаний колебательной величины s: s=Acos(ω0t+φ) или s=Asin(ω0t+φ), где A – амплитуда колебаний, ω0 – круговая (циклическая) частота, φ – начальная фаза колебаний в момент времени t=0, (ω0t+φ) – фаза колебаний в момент времени t.

Период гармонического колебания – промежуток времени T, в течение которого фаза колебания получает приращение 2π, т.е. ω0(t+T)+φ=(ω0t+φ)+2π. T=2π/ω0.

Период колебаний - наименьший промежуток времени, по истечении которого система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный произвольно выбранный момент.

Частота колебаний – число полных колебаний, совершаемых в единицу времени. ν=1/T.

Амплитуда колебаний – это максимальное значение колеблющейся величины.

Фаза колебаний – это значение колеблющейся величины в произвольный момент времени (ω0t+φ).

31. Гармонический осциллятор. Собственные колебания гармонического осциллятора.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида: s”+ω02s=0. Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения, и служит точной или приближённой моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур.

Свободными (собственными) колебаниями гармонического осциллятора называются колебания, которые происходят в отсутствии переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия; колебания, которые совершаются за счёт первоначально сообщённой энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

32. Энергия гармонического осциллятора.

Линейный гармонический осциллятор – материальная точка массой m, совершающая прямолинейные гармонические колебания под действием упругой силы. Уравнения движения осциллятора имеет вид md2x/dt2=-kx или d2x/dt2+kx/m=0. Где k – коэффициент, характеризующий упругие свойства пружины. Потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора: Wп=kx2/2.

33. Линейный осциллятор с затуханием. Уравнение движение линейного осциллятора и его решение.

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы с течением времени уменьшается.

Для рассмотрения затухающих колебаний обычно используют линейные системы – это идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются.

Дифференциальное уравнение свободно затухающих колебаний линейной системы задаётся в виде:

, (33.1)

где s – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, δ=const – коэффициент затухания, ω0 – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т.е. при δ=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.

Решение уравнения (33.1) рассмотрим в виде s=e-δtu (33.2), где u=u(t).

После нахождения первой и второй производных выражения (33.2) и подстановки их в (33.1) получим . Решение уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Пусть этот коэффициент положителен:

. Тогда получим уравнение типа: , решением которого является функция u=A0cos(ωt+φ). Таким образом, решение уравнения в случае малых затуханий s=A0e-δtcos(ωt+φ),

где δ=r/(2m) в случае механических колебаний и δ=R/(2L) в случае электромагнитных колебаний; - частота затухающих колебаний; A0e-δt – амплитуда затухающих колебаний.

Промежуток времени τ=1/δ, в течении которого амплитуда затухающих колебаний уменьшится в e раз, называется временем релаксации.

Если A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение:

называется декрементом затухания, а его логарифм

- логарифмическим декрементом затухания; Ne – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз. Логарифмический декремент затухания – постоянная для каждой колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которое при малых значениях логарифмического декремента равна

34. Затухающие колебания линейного осциллятора.

Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы F=-kx, сила трения пропорциональна скорости, т.е. Fтр=-rυ=-rx’, где r – коэффициент сопротивления. При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид: mx”=-kx-rx’. Используя формулу:

и принимая, что коэффициент затухания δ=r/(2m), получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:. Маятник колеблется по закону

x=A0e-δtcos(ωt+φ) с частотой:

Добротность пружинного маятника .

35. Логарифмический декремент затухания и добротность осциллятора.

Промежуток времени τ=1/δ, в течении которого амплитуда затухающих колебаний уменьшится в e раз, называется временем релаксации.

Если A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение:

называется декрементом затухания, а его логарифм

- логарифмическим декрементом затухания; Ne – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз. Логарифмический декремент затухания – постоянная для каждой колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которое при малых значениях логарифмического декремента равна

36. Апериодическое движение линейного осциллятора.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в колебательном контуре имеет вид:

.

Используя формулу

, и принимая коэффициент затухания δ=R/(2L). Уравнение затухающих колебаний в колебательном контуре имеет вид:

. Колебания заряда совершаются по закону: Q=Qme-δtcos(ωt+φ) с частотой

, меньшей собственной частоты контура . При R=0 ω=ω0. Логарифмический декремент затухания определяется формулой , а добротность колебательного контура .

При увеличении коэффициента затухания период затухающих колебаний растёт и при δ=ω0 обращается в бесконечность, т.е. движение перестаёт быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда t→∞. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.

37. Вынужденные колебания линейного осциллятора при периодическом воздействии.

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющегося по гармоническому закону: X(t)=X0cosωt.

Переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая её вынужденные механические колебания называется вынуждающей, или возмущающей силой.

Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила F=F0cosωt.

Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону Э.Д.С. или переменное напряжение U=Umcosωt.

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся Э.Д.С., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

38. Амплитуда и фаза установившихся вынужденных колебаний. Резонанс.