Шпаргалка по "Физике"

Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью υ, определяется работой, которую надо совершить, чтобы сообщить телу данную скорость. Ek=mυ2/2.

Теорема о кинетической энергии – работа равнодействующей сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии тела. Приращение кинетической энергии частицы на элементарном перемещении равно элементарной работе на том же перемещении. Приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно работе всех сил, действующих на частицу на том же перемещении.

.

Кинетическая энергия системы есть функция состояния её механического движения.

Теорема Кёнинга – кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии той же системы и её движении относительно системы центра масс и кинетической энергии, которая имела бы рассматриваемая система, двигаясь поступательно со скоростью её центра масс.

13. Потенциальные и непотенциальные силы. Потенциальная энергия.

Потенциальные силы - силы, работа которых зависит только от начального и конечного положения точек их приложения и не зависит ни от вида траекторий, ни от закона движения этих точек.

Если работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной (непотенциальной); примером является сила трения.

Потенциальная энергия – энергия частиц во внешнем потенциальном поле.

Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой постоянной. Это не отражается на физических законах, так как в них входят или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная потенциальной энергии по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определённом положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчёта), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня.

14. Связь потенциальной силы с градиентом потенциальной энергии.

Рассмотрим простейшую механическую систему, состоящую из одной материальной точки, на которую действует потенциальная сила.

δA= - [dWп – (∂Wпdt)/∂t].  (14.1.)

Из (14.1.) следует, что

δA=Fdr= - [(∂Wпdx)/∂x+(∂Wпdy)/∂y+(∂Wпdz)/∂z].

Так как координаты x, y, z – независимые переменные, то в последнем уравнении должны быть попарно равны слева и справа коэффициенты при dx, dy, dz. Таким образом, связь между потенциальной энергией материальной точки соответствующей ей потенциальной силой имеет вид

Fx= - ∂Wп/∂x;              Fy= - ∂Wп/∂y;              Fz= - ∂Wп/∂z;

или

F= - [(∂Wпi)/∂x+(∂Wпj)/∂y+(∂Wпk)/∂z].  (14.2.)

Вектор, стоящий в (14.2.) справа в квадратных скобках и построенный с помощью скалярной функции Wп, называется градиентом функции и обозначается gradWп.

Итак, сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле, равна взятому с обратным знаком градиенту потенциальной энергии этой точки в рассматриваемом поле:

F= - gradWп.

15. Механическая энергия частицы. Диссипация энергии.

Закон сохранения механической энергии – механическая энергия остаётся неизменной при любых движениях частицы в поле сил, в котором она находится, равна сумме работ внешних и диссипативных сил, действующих на частицу. E=Ek+Ep=const=∑Aвн+∑Aдис.

Диссипативные системы – системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счёт преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (или рассеяния) энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

16. Динамика системы частиц. Концепции взаимодействия.

Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной). Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т.е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Существуют две основных концепций взаимодействия частиц в системе: концепция дальнодействия (эта концепция предполагает, что взаимодействие между частицами происходит мгновенно и без посредников; эта концепция близка к достоверности только в случае, когда размеры частиц соизмеримы с расстояниями между ними; концепция была предложена Ньютоном); концепция близкодействия (эта концепция предполагает, что взаимодействие между частицами на любых расстояниях происходит через определённый промежуток времени при помощи посредников; эта концепция была предложена в более позднее время). В ряде случаев для упрощения решения задач можно использовать концепцию дальнодействия (при скоростях посредника много больших скоростей частиц)

17. Уравнения движения системы частиц.

Для упрощения решения задач разбиваем систему частиц на систему отдельных частиц, независящих друг от друга. Затем рассматриваем уравнения движения частиц как сумму уравнений движения отдельных частиц и сумму сил взаимодействия между ними.

Основной закон динамики материальной точки (второй закон Ньютона) выражает принцип причинности в классической механике, так как устанавливает однозначную связь между изменением с течением времени состояния движения и положения в пространстве материальной точки и действующей на нее силой. Этот закон позволяет, зная начальное состояние материальной точки (ее координаты и скорость в какой – либо начальный момент времени) и действующую на нее силу, рассчитать состояние материальной точки в любой последующий момент времени.

Уравнение движения материальной точки.

Сила – производная импульса по времени. F=dp/dt.

Более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Это выражение называется уравнением движения материальной точки.

Уравнение движения системы частиц Fcис=∑ni=1dpi/dt, где n – число частиц в системе, pi – импульс каждой частицы.

18. Силы взаимодействия. Третий закон Ньютона.

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки: F12= - F21, где F12 – сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; F21 – сила, действующая на вторую материальную точку со сторону первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

Третий закон Ньютона позволят осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

Третий закон Ньютона справедлив только в концепции дальнодействия.

19. Импульс системы частиц. Закон сохранения импульса.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m1, m2,..., mn и υ1, υ2,…, υn. Пусть F’1,F’2,...,F’n – равнодействующие внешних сил, действующих на каждое из этих тел, а F1,F2,...,Fn – равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

[d(m1υ1)]/dt=F’1+F1,

[d(m2υ2)]/dt=F’2+F2,

………………………

[d(mnυn)]/dt=F’n+Fn.

Складывая почленно эти уравнения, получим

[d(m1υ1+m2υ2+...+mnυn)]/dt=F’1+F’2+...+F’n+F1+F2+...+Fn.

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

[d(m1υ1+m2υ2+...+mnυn)]/dt=F1+F2+...+Fn,

или

dp/dt=F1+F2+...+Fn,

где p=Σi=1nmiυi – импульс системы.

Таким образом, производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему. В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

dp/dt=Σi=1n[d(miυi)]/dt=0,

т.е.

p= Σi=1nmiυi=const.

Это выражение и является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Этот закон носит универсальный характер, т.е. закон сохранения импульса – фундаментальный закон природы.

20. Момент импульса системы частиц. Закон сохранения момента импульса.

Моментом импульса системы частиц есть сумма моментов импульса отдельных частиц.

Момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость:

Lz=Izω.  (20.1.)

Продифференцируем уравнение (20.1.) по времени:

dLz/dt=(Izdω)/dt=Izε=Mz,

т.е.

dLz/dt= Mz.

Это выражение – ещё одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твёрдого тела.

Можно показать, что имеет место векторное равенство

dL/dt=M.

В замкнутой системе момент внешних сил М=0 и dL/dt=0, откуда L=const.  (20.2.)

Выражение (20.2.) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчёта (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

21. Энергия взаимодействия системы частиц.

Энергия взаимодействия системы частиц (потенциальная энергия) - механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой постоянной. Это не отражается на физических законах, так как в них входят или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная потенциальной энергии по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определённом положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчёта), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня.

Энергия взаимодействия системы частиц зависит только от координат и геометрии системы.

22. Механическая энергия системы частиц. Закон сохранения энергии в механике.

Полная механическая энергия системы – это энергия механического движения и взаимодействия, т.е. сумма кинетической и потенциальной энергии.

Закон сохранения энергии – результат обобщения многих экспериментальных данных. Рассмотрим систему материальных точек массами m1, m2,…,mn, движущихся со скоростями

υ1, υ2,…, υn. Пусть F’1, F’2,…, F’n – равнодействующие внутренних консервативных сил действующих на каждую из этих точек, а F1, F2,…, Fn – равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными (потенциальными). На материальные точки действуют и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек: f1, f2,…, fn. При υ<<c масса материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

m1dυ1/dt= F1+ F’1+f1,

m2dυ2/dt= F2+ F’2+f2,

………………………

mndυn/dt= Fn+ F’n+fn.

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные dr1, dr2,…, drn. Умножим каждое уравнение скалярно на соответствующие перемещения, получим

m1(υ1dυ1)-(F1+F’1)dr1=f1dr1,

m2(υ2dυ2)-(F2+F’2)dr2=f2dr2,

……………………………

mn(υndυn)-(Fn+F’n)drn=fndrn.

Сложив эти уравнения, получим:

Σni=1mi(υidυi)-Σni=1(Fi+F’i)dri=Σni=1fidri.

Первый член левой части равенства есть приращение кинетической энергии системы dT. Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т.е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dП системы. При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2 1∫2d(Т+П)=А12. Если внешние консервативные силы отсутствуют ,то d(Т+П)=0 откуда Т+П=Е=const.(22.1)

Полная механическая энергия сохраняется постоянной.

Выражение (22.1) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

23. Центр инерции (центр масс). Уравнение поступательного движения системы.

Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Её радиус-вектор равен rC=∑ni=1miri/m, где mi и ri – соответственно масса и радиус-вектор i-ой материальной точки; n – число материальных точек системы, m – масса системы.

Скорость центра масс

υС=drC/dt=(∑ni=1miri/dt)/m=∑ni=1miυi/m.

Учитывая, что pi=miυi, p=mυС, т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость её центра масс. Тогда по второму закону Ньютона mdυС/dt=F1+F2+…+Fn, т.е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Это выражение представляет собой закон движения центра масс (уравнение поступательного движения системы). Из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остаётся неподвижным.

24. Абсолютно твёрдое тело. Уравнение движения абсолютно твёрдого тела.

Абсолютно твёрдым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остаётся постоянным. Любое движение твёрдого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движения.

Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущемся телом, остаётся параллельной своему первоначальному положению.

Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Абсолютно твёрдое тело имеет шесть степеней свободы поэтому движение описывается шестью уравнениями; т.е. комбинация поступательного и вращательного движений.