Наращенные  отдельные платежи представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом равным R и множителем равным (1 + i).

     Рассмотрим  определение наращенной суммы на примере наиболее простого случая, – годовой постоянной обычной ренты:

     

     где FVA – наращенная сумма ренты;

     R – размер члена ренты, т.е. размер очередного платежа;

     i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;

     n – срок ренты в годах,

     s _n;i – коэффициент наращения ренты.

     Однако  рассматриваемая формула используется только при начислении процентов  один раз в год, но возможны случаи и неоднократного начисления процентов  в течение года, тогда используют следующую формулу:

     

     где j – номинальная ставка процентов.

     Бывают  случаи, когда рентные платежи  вносятся несколько раз в год  равными суммами (срочная рента), а начисление процентов производится только раз в году. Тогда наращенная величина ренты будет определяться по формуле:

     

     Также нередки случаи, когда рентные  платежи вносятся несколько раз  в году и начисление процентов также происходит несколько раз в год, но число рентных платежей не равно числу периодов начисления процентов, т.е. p ≠ m. Тогда формула по которой можно определить наращенную величину финансовой ренты примет вид:

     

     На  практике большее распространение  получил поток постнумерандо, поскольку  согласно общим принципам учета  принято подводить итоги и  оценивать финансовый результат операции или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что же касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике они чаще всего распределены во времени неравномерно и поэтому для удобства все поступления относят к концу периода, что позволяет использовать формализованные алгоритмы оценки.

     Поток пренумерандо имеет значение при  анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

     Рента пренумерандо отличается от обычной  ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты  пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i) раз.

     Для годовой ренты пренумерандо с  начислением процентом один раз  в год формула примет вид:

     

     Для годовой ренты пренумерандо с  начислением процентов несколько  раз в год:

     

     1.5.3. Современная (текущая)  величина аннуитета.

     Помимо  наращенной суммы обобщающей характеристикой  потока платежей является современная величина. Современная (текущая) величина потока платежей (капитализированная или приведенная величина) – это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов. Это важнейшая характеристика финансового анализа, т.к. является основой для измерения эффективности различных финансово-кредитных операций, сравнения условий контрактов и т.п. Данная характеристика показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые начислялись бы установленные проценты в течение всего срока, можно было бы получить указанную наращенную сумму.

     

     В этом случае реализуется схема дисконтирования: все элементы с помощью дисконтных множителей приведены к одному моменту времени, что позволяет их суммировать.

     В простейшем случае, для годовой обычной  ренты с выплатами в конце  каждого года, когда момент оценки совпадает с началом ренты, современная  величина финансовой ренты равна:

     

     Дробь в формуле – коэффициент приведения ренты (a_n;i), значения которого табулированы для широкого круга значений, поскольку зависят от ставки процентов (i) и от числа лет (n)

     Рассмотрим  расчет современной величины ренты  для различных ее видов:

годовая рента  с начислением процентов несколько  раз в год:

     

срочная рента  при начислении процентов один раз  в год:

     

срочная рента  с неоднократным начислением  процентов в течение года, при  условии, что число выплат не равно  числе начислений, т.е. p ≠ m :

     

     Глава 2. Расчетно-аналитическая  часть с планом погашения кредита (на примере кредита «Рефинансирование – евро» Банка Москвы).

   Одним из практических приложений финансовой математики является разработка плана  погашения средне- и долгосрочных кредитов.

   К среднесрочным, как правило, относят  кредиты, выданные на срок от 2 до 5 лет. Кредиты, выданные на более длительный срок, являются долгосрочными.

   Расходы, связанные с погашением займа, должны включать как текущие выплаты  процентов, так и средства, предназначенные для погашения суммы займа, или основного долга. В совокупности они называются расходами заемщика по обслуживанию долга или амортизацией займа.

   Существуют  различные способы погашения  задолженности. Участники кредитной  сделки оговаривают их при заключении контракта. В соответствии с условиями  контракта составляется план погашения  задолженности. Одним из важнейших  элементов плана является определение количества выплат в течение года, т.е. определение числа так называемых срочных уплат и их величины.

   Срочные уплаты рассматриваются как средства, предназначение для погашения, как  основного долга, так и текущих  процентных платежей. При этом средства, направляемые на погашение (амортизацию) основного долга, могут быть равными  или изменяющимися, а плата за кредит, вычисленная по сложным процентам, может выплачиваться отдельно. Иногда в течение ряда лет выплачиваются  только проценты за кредит, а сам  долг погашается в оставшееся время в рассрочку, т.е. несколькими платежами, или разовым платежом.

     Погашение кредита может также производиться  в виде финансовой ренты, т.е. платежами, вносимыми через равные промежутки времени и содержащими как выплату основного долга, так и процентный платеж за пользование кредитом. Величина срочных уплат зависит от величины кредита, его срока, наличия и продолжительности льготного периода, размера процентной ставки и т.п. Однако, как правило, проценты за кредит должны выплачиваться и в льготном периоде. Рассмотрим  некоторые методы разработки планов погашения кредитов.

     Банком  Москвы выдан кредит в иностранной валюте, евро, на рефинансирование ранее взято ипотечного кредита под залог имеющегося жилья в размере не более 80% стоимости этого жилья. Обеспеченностью кредита выступает приобретаемая недвижимость.

     Для плана погашения кредита необходимо использовать следующие обозначения:

     Y – годовая срочная уплата;

     R – годовой расход по погашению долга;

     I – процентный платеж;

     D – долг;

     i – процентная ставка;

     n – срок финансовой операции.

     Формулы, необходимые для расчетов:

     

     

     

      _. 
 
 
 
 

 

     

_{Таблица 1. План погашения кредита сроком на 6 лет под 11,5% годовых в размере 40 000 евро.}

       

     При выдаче кредита на данных условиях сроком на 6 лет ежегодный разовый платеж будет составлять 9 591,65 евро. В течение 6 лет годовой расход по погашению долга будет увеличиваться с 4 991,65 до 8 602,377 евро, в то время как величина процентного платежа упадет с 4 600 до 989,2733 евро.  

_{Таблица 2. План погашения кредита сроком на 6 лет под 10% годовых в размере 40 000 евро.}

       

     _{В таблице 2 рассматривается  кредит выданный также  на сумму 40 000 евро на 6 лет, но уже после регистрации ипотеки и под 10% годовых. Сравнивая эти кредиты, можно заметить, что ежегодный разовый платеж меньше и составляет 9 184,3. Следовательно, и сумма процентного платежа будет составлять уже 15 105,8 евро. Итак, получателю кредита выгоднее взять кредит после регистрации ипотеки в пользу банка, т.к. процентная ставка при этом будет снижена и как следствие сумма процентного платежа будет меньше.}

     _{Далее рассмотрим планы  погашения кредитов, взятых в размере 60 000 евро при выдаче кредита до регистрации ипотеки в пользу банка.}