Модели управления денежными средствами компании

    

    Приведенная стоимость потока пренумерандо в  общем виде может быть рассчитана по формуле:

    

    Так, если в предыдущей задаче предположить, что исходный поток представляет собой поток пренумерандо, его  приведенная стоимость будет  равна: Pvpre = PVpst*(1+r)=44,97*1,12=50,37 тыс. руб.

ОЦЕНКА  АННУИТЕТОВ

    Одним из ключевых понятий в финансовых и коммерческой расчетах является понятие  аннуитета. Логика, заложенная в схему  аннуитетных платежей, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов, а также в анализе аренды.

ОЦЕНКА  СРОЧНЫХ АННУИТЕТОВ

    Аннуитет  представляет собой частный случай денежного потока, а именно, это  поток, в котором денежные поступления  в каждом периоде одинаковы по величине. Если число равных временных  интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. В этом случаи:

    С1 = С2 = …… = Сn = A

    Примером  срочного аннуитета постнумерандо  могут служить регулярно поступающие  рентные платежи за пользование  сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается  регулярная оплата аренды по истечении  очередного периода. В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной  покупки.

    Для оценки будущей и приведенной  стоимости аннуитета можно пользоваться рассмотренными вычислительными формулами, вместе с тем благодаря специфике  аннуитетов в отношении равенства  денежных поступлений эти формулы  могут быть существенно упрощены.

    Прямая  задача оценки срочного аннуитета при  заданных величинах регулярного  поступления (А) и процентной ставке (r) предполагает оценку будущей стоимости аннуитета. Как следует из логики, присущей схеме аннуитета, наращенный денежный поток имеет вид:

    

    а расчетная формула трансформируется следующим образом:

    

    Входящий  в формулу мультиплицирующий  множитель FMЗ(r,n) представляет собой сумму членов геометрической прогрессии:

    

    где (q = 1 -r). Сделав преобразования можно  найти, что:

    

    Экономический смысл мультиплицирующего множителя  FМ заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель FM часто используется в финансовых вычислениях, и поскольку легко заметить, что значения в общем виде зависят лишь от r и n, их можно табулировать.

    Пример 

    Вам предлагают сдать в аренду участок  на три года и выбрать один из двух вариантов оплаты аренды: а) 10 млн.руб. в конце каждого года; б) 35 млн.руб. в конце трехлетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

    Первый  вариант оплаты как раз и представляет собой аннуитет постнумерандо при  n = 3 и А = 10 млн. руб. В этом случаи имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм как минимум на условною 20% годовых (например, вложение в банк). К концу трехлетнего периода накопленная сумма может быть рассчитана:

    FV = А*FМЗ(20%, 3) = 10*3,640 = 36,4 млн. руб.

    Таким образом, расчет показывает, что вариант (а) более выгоден.

    Общая постановка обратной задачи оценки срочного аннуитета постнумерандо также  достаточно наглядна. В этом случае производится оценка будущих денежных поступлений с позиции текущего момента, под которым в данном случае понимается момент времени, с  которого начинают отсчитываться равные временные интервалы, входящие в  аннуитет.

    Экономический смысл расчетов по предыдущей задаче состоит в следующем: с позиции  текущего момента реальная стоимость  данного аннуитета может быть оценена в 21,064 млн. руб.

    Общая формула для оценки текущей стоимости  срочного аннуитета постнумерандо  выводится из базовой формулы  и имеет вид:

      

    тогда,

    

    Экономический смысл дисконтирующего множителя  FM4(r,n) заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой r.

    Пример

    Предложено  инвестировать 100 млн.руб. на срок 5 лет  при условии возврата этой суммы  частями (ежегодно по 20 млн. руб.). По истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 млн. руб. Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?

    Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две суммы. При депонировании  денег в банк к концу пятилетнего  периода на счете будет сумма:

    

    В отношении альтернативного варианта, предусматривающего возмещение вложенной  суммы частями, предполагается, что  ежегодные поступления в размере 20 млн. руб. можно немедленно пускать  в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив  по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. Денежный поток в этом случае можно  представить двояко:

    а) как срочный аннуитет постнумерандо  с А = 20, n = 5, r = 20% и единовременное получение суммы в 30 млн. руб.;

    б) как срочный аннуитет пренумерандо с А = 20, n = 4, r = 20% и единовременное получение сумм в 20 и 30 млн. руб. В  первом случае имеем:

    

    Во  втором случае на основании формулы  имеем:

    

    Естественно, что оба варианта привели к  одинаковому ответу. Таким образом, общая сумма капитала к концу  пятилетнего периода будет складываться из доходов от депонирования денег  в банке (107,06 млн. руб.), возврата доли от участия в венчурном проекте за последний год (20 млн. руб.) и единовременного вознаграждения (30 млн. руб.). Общая сумма составит, следовательно, 157,06 млн. руб. Предложение экономически нецелесообразно.

МЕТОД ДЕПОЗИТНОЙ КНИЖКИ

    Можно дать иную интерпретацию расчета  текущей стоимости аннуитета  с помощью метода «депозитной  книжки», логика которого такова. Сумма, положенная на депозит, приносит доход  в виде процентов; при снятии с  депозита некоторой суммы базовая  величина, с которой начисляются  проценты, уменьшается. Как Раз эта  ситуация и имеет место в случае с аннуитетом. Текущая стоимость  аннуитета - это величина депозита с  общей суммой причитающихся процентов, ежегодно уменьшающаяся на равные суммы. Эта сумма годового платежа включает в себя начисленные за очередной  период проценты, а также некоторую  часть основной суммы долга. Таким  образом, погашение исходного долга  осуществляется постепенно в течение  всего срока действия аннуитета. Структура годового платежа постоянно  меняется - начальные периоды в  нем преобладают начисленные  за очередной период проценты; с  течением времени доля процентных платежей постоянно уменьшается и повышается доля погашаемой части основного  долга. Логику и счетные процедуры  метода рассмотрим на простейшем примере.

    Пример 

    В банке получена ссуда на пять лет  в сумме 20000 дол, под 13% годовых, начисляемых  по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно  равными суммами в конце каждого  года. Требуется определить величину годового платежа.

    Для лучшего понимания логики метода депозитной книжка целесообразно рассуждать с позиции кредитора. Для банка  данный контракт представляет собой  инвестицию в размере 20000 дол., т.е. отток  денежных средств, что и показано на схеме. В дальнейшем в течение пяти лет банк будет ежегодно получать в конце года сумму А, причем каждый годовой платеж будет включать проценты за истекший год и часть основной суммы долга. Так, поскольку в течение первого года заемщик пользовался ссудой в размере 20000 дол., то платеж, который будет сделав в конце этого года, состоит из двух частей: процентов за год в сумме 2600 дол. (13% от 20000) и погашаемой части долга в сумме (А - 2600 дол). В следующем году расчет будет повторен при условии, что размер кредита, которым пользуется заемщик, составит уже меньшую сумму по сравнению с первым годом, а именно: (20000-А + 2600). Отсюда видно, что с течением времени сумма процентов снижается, а доля платежа возрастает. Данный финансовый контракт можно представить в виде аннуитета постнумерандо, в котором известна его текущая стоимость, процентная ставка и продолжительность действия. Поэтому для нахождения величины годовою платежа А можно воспользоваться известной формулой.

    Динамика  платежей показана в Таблице. Отметим, что данные в ходе вычислений округлялись, поэтому величина процентов в  последней строке найдена балансовым методом.

 

    Данная  таблица позволяет ответить на целый  ряд дополнительных вопросов, представляющих определенный интерес для прогнозирования  денежных потоков. В частности, можно  рассчитать общую сумму процентных платежей, величину процентного платежа  в 1-м периоде, долю кредита, погашенную в первые 11 лет, и т.п.

ОЦЕНКА  АННУИТЕТА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ВЕЛИЧИНОЙ ПЛАТЕЖА 

    На  практике возможны ситуации, когда  величина платежа меняется со временем в сторону увеличения или уменьшения. В частности, при заключении договоров  аренды в условиях инфляции может  предусматриваться периодическое  увеличение платежа, компенсирующее негативное влияние изменения цен. Оценка аннуитета  в этом случае может также выполняться  путем несложных расчетов с помощью  финансовых таблиц. Технику вычислений рассмотрим на простейшем примере.6

    Пример 

    Сдан  участок в аренду на десять лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на следующих  Условиях: в первые шесть лет по 10 млн. руб., в оставшиеся четыре года по 11 млн. руб. Требуется оценить  приведенную стоимость этого  договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 15%.

    Решать  данную задачу можно различными способами  в зависимости от того, какие аннуитеты  будут выделены аналитиком.

    Прежде  всего отметим, что приведенная  стоимость денежного потока должна оцениваться с позиции начала первого временного интервала. Рассмотрим лишь два варианта решения из нескольких возможных. Все эти варианты основываются на свойстве аддитивности рассмотренных алгоритмов в отношении величины аннуитетного платежа.

    1. Исходный поток можно представить  себе как сумму двух аннуитетов: первый имеет А = 10 и продолжается  десять лет; второй имеет А  = 1 и продолжается четыре года. По формуле можно оценить приведенную  стоимость каждого аннуитета.  Однако второй аннуитет в этом  случае будет оценен с позиции  начала седьмого года, поэтому  полученную сумму необходимо  дисконтировать к началу первого  года. В этом случае оценки  двух аннуитетов будут приведены  к одному моменту времени, а  их сумма даст оценку приведенной  стоимости исходного денежного  потока.

    PV = 10*FМ4(15%,10)+FМ2(15%,6)*1*FМ4(15%,4) =