Контрольная работа по "Теории организации"

 

Таблица 2

 

Критерии	К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8	НВП
К1	1	1	3	3	5	7	7	9	0,293
К2	1	1	2	3	5	7	3	9	0,251
К3	1/3	1/2	1	2	4	7	3	9	0,170
К4	1/3	1/3	1/2	1	3	8	3	3	0,116
К5	1/5	1/5	1/4	1/3	1	5	3	9	0,077
К6	1/7	1/7	1/7	1/8	1/5	1	3	9	0,039
К7	1/7	1/3	1/3	1/3	1/3	1/3	1	2	0,037
К8	1/9	1/9	1/9	1/3	1/9	1/9	1/2	1	0,017
λ max = 8,8480 ИС = 0,1211 ОС = 0,0859

 

Нормализованный вектор приоритетов (НВП) определяется по следующей схеме:

а) рассчитывается среднее геометрическое элементов в каждой строке матрицы  по формуле:

 

 

б) рассчитывается сумма средних  геометрических: ∑= а₁ + а₂ + … + а_n

в) вычисляют компоненты НВП: а_n = а_n / ∑.

Каждый компонент НВП представляет собой оценку важности соответствующего критерия.

Проверяется согласованность оценок в матрице. Для этого подсчитываются три характеристики:

а) собственное значение матрицы  по формуле:

λ _макс = ∑ элементов 1^го столбца × 1^й компонент НВП + ∑ элементов 2^го столбца × 2^й компонент НВП + … + ∑ элементов n^го столбца × n^й компонент НВП,

где × - знак умножения;

 

случайной согласованности, определяемый теоретически для случая, когда оценки в матрице представлены случайным образом, и зависящий от размера матрицы. Значения ПСС представлены в таблице 3.

 

Таблица 3

 

Размер матрицы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ПСС	0	0	0,58	0,90	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49

 

Оценки в матрице считаются согласованными, если ОС ≤ 10 ÷15%.

 

Проведём попарное сравнение пригодности (ценности) вариантов по каждому критерию по той же шкале, что и для критериев. Для этого необходимо предварительно проранжировать варианты по каждому критерию. Затем полученные результаты занесём в таблицу (таблица 4). В каждом случае подсчитываются: λ _{i max}; ИС_i; ОС_i.

 

Таблица 4

К1	В1	В2	В3	НВП	К2	В1	В2	В3	НВП	К3	В1	В2	В3	НВП
В1	1	5	5	0,714	В1	1	1/5	1/3	0,105	В1	1	1	1	0,333
В2	1/5	1	1	0,143	В2	5	1	3	0,637	В2	1	1	1	0,333
В3	1/5	1	1	0,143	В3	3	1/3	1	0,258	В3	1	1	1	0,333
λ 1 max = 3,0000 ИС1 = 0,0000 ОС1 = 0,0000					λ 2 max = 3,0385 ИС2 = 0,0193 ОС2 = 0,0332					λ 3 max = 3,0000 ИС3 = 0,0000 ОС3 = 0,0000
К4	В1	В2	В3	НВП	К5	В1	В2	В3	НВП	К6	В1	В2	В3	НВП
В1	1	1/3	1/5	0,114	В1	1	1/3	1/5	0,114	В1	1	5	3	0,637
В2	3	1	1	0,405	В2	3	1	1	0,405	В2	1/5	1	1/3	0,105
В3	5	1	1	0,481	В3	5	1	1	0,481	В3	1/3	3	1	0,258
λ 4 max = 3,0291 ИС4 = 0,0145 ОС4 = 0,0251					λ 5 max = 3,0291 ИС5 = 0,0145 ОС5 = 0,0251					λ 6 max = 3,0385 ИС6 = 0,0193 ОС6 = 0,0332
К7	В1	В2	В3	НВП	К8	В1	В2	В3	НВП
В1	1	1/3	1/5	0,114	В1	1	1/7	1	0,111
В2	3	1	1	0,405	В2	7	1	7	0,778
В3	5	1	1	0,481	В3	1	1/7	1	0,111
λ 7 max = 3,0291 ИС7 = 0,0145 ОС7 = 0,0251					λ 8 max = 3,0000 ИС8 = 0,0000 ОС8 = 0,0000

 

 

На этом этапе необходимо подсчитать значение общего критерия для каждого варианта. Для этого значение компонента НВП данного варианта по 1^му критерию из таблицы 4 умножается на значение НВП 1^го критерия из таблицы 2, затем значение компонента НВП данного варианта по 2^му критерию умножается на значение НВП 2^го критерия и так далее по всем критериям. Полученные произведения суммируются. В итоге получаем значение общего критерия для 1^го варианта решения. Аналогично рассчитывается общий критерий для 2^го и 3^го вариантов.

 

К (В₁) = 0,714Í0,293 + 0,105Í0,251 + 0,333Í0,170 + 0,114Í0,116 + 0,114Í0,077 + 0,637Í0,039 + 0,114Í0,037 + 0,111Í0,017 = 0,3464

К (В₂) = 0,143Í0,293 + 0,637Í0,251 + 0,333Í0,170 + 0,405Í0,116 + 0,405 Í0,077 + 0,105Í0,039 + 0,405Í0,037 + 0,778Í0,017 = 0,3683

К (В₃) = 0,143Í0,293 + 0,258Í0,251 + 0,333Í0,170 + 0,481Í0,116 + 0,481Í0,077 + 0,258Í0,039 + 0,481Í0,037 + 0,111Í0,017 = 0,2853

 

К (В₁) = 0,3464 – отечественная продукция

К (В₂) = 0,3683 – западно-европейская продукция

К (В₃) = 0,2853 – южно-азиатская продукция

Так как метод анализа иерархий (метод собственных значений) основан на аддитивной свёртке, то данный этап решения задачи можно представить ещё и следующим образом по формуле аддитивной свёртки:

 

К (х) - общий критерий для альтернативы х Є Х, показывающий её пригодность для достижения цели,

а_j - относительный вес (важность) частного критерия K_j.

 

Таблица

аjKj	варианты
	В1	В2	В3
а1К1	0,293Í0,714 = 0, 2092	0,293Í0,143 = 0,0418	0,293Í0,143 = 0,0418
а2К2	0,251Í0,105 = 0,0263	0,251Í0,637 = 0,1598	0,251Í0,258 = 0,0647
а3К3	0,170Í0,333 = 0,0566	0,170Í0,333 = 0,0566	0,170Í0,333 = 0,0566
а4К4	0,116Í0,114 = 0,0132	0,116Í0,405 = 0,0469	0,116Í0,481 = 0,0557
а5К5	0,077Í0,114 = 0,0087	0,077Í0,405 = 0,0311	0,077Í0,481 = 0,0370
а6К6	0,039Í0,637 = 0,0248	0,039Í0,105 = 0,0040	0,039Í0,258 = 0,0100
а7К7	0,037Í0,114 = 0,0042	0,037Í0,405 = 0,0149	0,037Í0,481 = 0,0177
а8К8	0,017Í0,111 = 0,0018	0,017Í0,778 = 0,0132	0,017Í0,111 = 0,0018

Для весов выполняется условие  нормировки , которое необходимо, чтобы результаты, полученные в разных условиях, были сопоставимы.

В нашем случае: ,

 

то есть условие нормировки выполняется.

Наилучшее решение определяем по выражению:

 

К (х) - одна из свёрток выбираемых ЛПР, в нашем случае аддитивная свёртка.

 

Итак, по расчётам видно, что наибольшее значение критерия имеет  второй вариант (В₂) (0,3683), который является предпочтительным перед остальными.

 

На этом этапе проверяется достоверность  решения, для чего подсчитываются:

обобщённый индекс согласования (ОИС),

обобщённый показатель случайной  согласованности (ОПСС),

обобщённое отношение согласованности (ООС).

 

1. ОИС подсчитывается по следующей формуле:

ОИС = ИС₁ Í НВП (К₁) + ИС₂ Í НВП (К₂) + … + ИС₈ Í НВП (К₈)

При этом:

ИС_i берётся из таблицы 4.

НВП (К_j) берётся из таблицы 2.

 

ОИС = 0,000 Í 0,293 + 0,0193 Í 0,251 + 0,000 Í 0,170 + 0,0145 Í 0,116 + 0,0145Í0,077 + 0,0193 Í 0,039 + 0,0145 Í 0,037 + 0,000 Í 0,017 = 0,0089

 

2. ОПСС подсчитывается так же как и ОИС, с той разницей, что вместо ИС₁, ИС₂ и так далее из таблицы 4 подставляются ПСС, соответствующие размеру матриц сравнения вариантов из таблицы 3. В данном случае размер матрицы 3, поэтому ПСС = 0,58.

 

ОПСС = 0,58 Í 0,293 + 0,58 Í 0,251 + 0,58 Í 0,170 + 0,58 Í 0,116 + 0,58 Í 0,077 + 0,58 Í 0,039 + 0,58 Í 0,037 + 0,58 Í 0,017 = 0,58

 

3. ООС рассчитывается по следующей  формуле:

 

Решение считается достоверным, если ООС ≤ 10 ÷ 15%.

 

 

ООС удовлетворяет условию, а значит, решение является достоверным.

Напомним, что по условию задачи была поставлена проблема: оценка промышленной продукции (стиральной машины)

Также были предложены три варианта оценки производимой продукции:

В₁ – отечественная продукция

В₂ – западно-европейская продукция

В₃ – южно-азиатская продукция

В процессе решения задачи было выявлено, что наиболее предпочтительным является второй вариант – продукция западно-европейского производства

Свёртка по наихудшему критерию с учётом важности критериев.

Данная свёртка соответствует  стратегии “пессимизма", при которой решение принимается по критерию, имеющему наименьшее значение. По таблице 5 находим данные, используя формулу:

В₁: К (х) = min а₈ K₈ = 0,0018

В₂: К (х) = min а₆ K₆ = 0,0040

В₃: К (х) = min а₈ K₈ = 0,0018

 

Наилучшее решение определяем по выражению:

Наибольшее значение критерия имеет  второй вариант (В₂), который является предпочтительным перед остальными.

 

Свёртка по наихудшему критерию без учёта важности критериев.

На основе данных таблицы 5 из задачи 4, и используя формулу:

 

, где а_j = const (j) = 1/n = 1/8

производим расчёт:

 

В₁: К (х) = min 1/8K₂ = 0,125 x 0,105 = 0,0131

В₂: К (х) = min 1/8K₆ = 0,125 x 0,105 = 0,0131

В₃: К (х) = min 1/8K₈ = 0,125 x 0,111 = 0,0138

 

Наилучшее решение определяем по выражению:

 

Наибольшее значение критерия имеет  третий вариант (В₃), который является предпочтительным перед остальными.

 

Метод главного критерия.

Данный метод, можно применять  в тех случаях, когда один из критериев  значительно превосходит все  остальные критерии (в три и более раз), если же это условие не выполняется, то данный метод применять не рекомендуется. Тот вариант, для которого значение главного критерия максимально, является наилучшим.

В данном случае главным критерием  является критерий К₁, хотя считать его главным можно лишь с оговоркой, так как он не превышает все остальные критерии в 3 и более раз. На основе данных таблицы 5 получаем:

К (В₁) = 0, 2092

К (В₂) = 0,0418

К (В₃) = 0,0418

Наибольшее значение критерия имеет  первый вариант (В₁).

 

Мультипликативная свёртка.

Данная свёртка позволяет учесть критерии, имеющие малые (по модулю) значения, то есть наибольший вклад дают множители наименьшие по модулю. На основе данных таблицы 4 из задачи 4, производим расчёт:

 

К (В₁) = 0,714^0,293 Í 0,105^0,251 Í 0,333^0,170 Í 0,114^0,116 Í 0,114^0,077 Í 0,637^0,039 Í

0,114^0,037 Í 0,111^0,017 = 0,9060 Í 0,5679 Í 0,8294 Í 0,7773 Í 0,8460 Í

0,9825 Í 0,9227 Í 0,9633 = 0,2450

К (В₂) = 0,143^0,293 Í 0,637^0,251 Í 0,333^0,170 Í 0,405^0,116 Í 0,405^0,077 Í 0,105^0,039 Í

0,405^0,037 Í 0,778^0,017 = 0,5656 Í 0,8929 Í 0,8294 Í 0,9004 Í 0,9327 Í

0,9158 Í 0,9671 Í 0,9957 = 0,3102

К (В₃) = 0,143^0,293 Í 0,258^0,251 Í 0,333^0,170 Í 0,481^0,116 Í 0,481^0,077 Í 0,258^0,039 Í

0,481^0,037 Í 0,111^0,017 = 0,5656 Í 0,7117 Í 0,8294 Í 0,9186 Í 0,9452 Í

0,9485 Í 0,9732 Í 0,9633 = 0,2577

К (В₁) = 0,2450

К (В₂) = 0,3102

К (В₃) = 0,2577

Наибольшее значение критерия имеет второй вариант (В₂), который является предпочтительным перед остальными.

 

Свёртка по наилучшему критерию.

Данный метод соответствует  стратегии “оптимизма". На основе данных таблицы 5 из задачи 4 выбираем наибольшее значение произведений а_jK_j (B_j) для каждого варианта. Вариант, которому оно соответствует, - наилучший.

а₁ K_{1 (}B₁) = 0, 2092

Наибольшее значение критерия имеет  первый вариант (В₁), который является предпочтительным перед остальными.

 

Аддитивная  свёртка (с использованием функции полезности).

Данный метод позволяет учесть критерии, имеющие большие (по модулю) значения.

Используя данные таблицы 4 , оценим по 10-и балльной шкале полезность (ценность) каждого варианта по каждому критерию. Наименьшее значение принимаем за 1.

По критерию К₁:

 

В₁ = 8/ (8 + 1 + 1) Í 10 = 8/10 Í 10 = 0,8 Í 10 = 8