Управление летательным аппаратом

   -0.0000   -0.0001    0.0051   -0.0001

    0.0001   -0.0050   -0.0001    2.0220 
 

R = 

    3.5027    0.0814   -0.1089    0.2153

         0    1.1422   -0.4529  -44.1562

         0         0    7.1179   -2.8894

         0         0         0  135.1361 
 

L = 

    3.5027         0         0         0

    0.0814    1.1422         0         0

   -0.1089   -0.4529    7.1179         0

    0.2153  -44.1562   -2.8894  135.1361 

Программа в MatLab: 

A  =[0.3366 -0.1034 0.0277 0.0392;

    2.8134 0.2322 -0.0755 0.0673;

    0.0266 -0.0103 0.9881 0.9954;

    0.007 -0.0019 -0.0027 0.9989]

Q=eye(4)

lyambda=eig(A);

P=dlyap(A',Q)

R=chol(P)

L=R' 
 

В качестве фактических аргументов функции  передана дискретная матрица системы  и некая положительно определенная симметричная матрица, в качестве которой  использовалась единичная матрица  Е.

Как и  в случае непрерывной системы, решение  уравнения Ляпунова существует и  единственно, положительно определённо и симметрично. Следовательно в соответствии с критерием Ляпунова, дискретная система является асимптотически устойчивой. 

8.2 Алгебраические критерии Гурвица и Шура-Кона 

Transfer function:

-0.652 z^3 + 1.209 z^2 - 0.6422 z + 0.08272

----------------------------------------------

z^4 - 2.556 z^3 + 2.487 z^2 - 1.294 z + 0.3642

Рассмотрим характеристический полином:  

χ₄ =  

8.2.1 Критерий Гурвица

Для анализа устойчивости дискретной системы с помощью  этого критерия зададимся нашей  системой в форме "вход-выход".

 

Последнее соотношение есть ни что иное как  характеристический полином дискретной системы. Необходимо проделать замену переменной:

Далее, характеристическое уравнение преобразуется к виду  

Χ()= 

где - числитель полинома;

Υ(w) = 7.7012*+5.0672*+3.2112*+0.0192*w+0.0012 

Матрица Гурвица:    M =  

Δ1 = a1 =

Δ2 = det = 16.123 

Δ3 = det = 0.278  

Δ4 = det = 3.345* 
 
 

Критерий Гурвица: Система устойчива тогда и только тогда, когда определитель и все главные диагональные миноры матрицы Гурвица больше нуля.

Критерий Гурвица  выполняется, следовательно система  устойчива. 
 

8.2.2 Критерий Шура-Кона 

χ₄ =  

Критерий Шура-Кона: для устойчивости дискретной системы  необходимо и достаточно строгое  чередование знаков определителей  : , где - определитель порядка 2k, который строится на основе соотношения: , где ,  

здесь - коэффициенты характеристического полинома:  
 

а0 =  1, а1 = -2.556, а2=2.487, а3 =-1.294, а4 = 0.3642

Запишем выражения  для этих матриц в нашем случае ( ): 
 

     

 

=

   

 

  
 
 

  

Подсчитаем определители: 

delta1 =   -0.6358 < 0

delta2 =    0.6205 > 0

delta3 =   -0.0085 < 0

delta4 =    1.7533* > 0

delta5 =   -2.3239* < 0 

Все определители с нечётными индексами отрицательны, с чётными индексами – положительны.

Следовательно по критерию Шура-Кона система является асимптотически устойчивой.

8.3 Критерии Михайлова и Найквиста 

8.3.1 Критерий Михайлова 

Чтобы многочлен  степени  имел все корни внутри единичной окружности, необходимо, чтобы годограф Михайлова дискретной системы при изменении от до Пи обходил последовательно в положительном направлении(против часовой стрелки) 2n квадрантов, т.е. угол 2*Пи*n,где n – порядок характеристического уравненияπ.

Построим характеристику: 

[q,p]=tfdata(W_d, 'v'); %берем характеристический полином

om=[0:0.01:pi];        %омега меняется от 0 до Пи

y=polyval(p,exp(i*om));%считаем значения полинома

subplot(1,2,1)

plot(real(y),imag(y)); %рисуем характеристику

grid on;

om=[0:0.01:1];        %омега меняется от 0 до Пи

y=polyval(p,exp(i*om));%считаем значения полинома

subplot(1,2,2)

plot(real(y),imag(y)); %рисуем характеристику

grid on; 
 

 

Построенный годограф обходит в положительном направлении 4 квадранта. Следовательно система  является асимптотически устойчивой. 
 
 
 
 
 

8.3.2 Критерий Найквиста 

Transfer function:

-0.652 z^3 + 1.209 z^2 - 0.6422 z + 0.08272

----------------------------------------------

z^4 - 2.556 z^3 + 2.487 z^2 - 1.294 z + 0.3642 

Критерий Найквиста:

Система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом  состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы  , не охватывает точку . Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и ее характеристический полином имеет корней в правой полуплоскости, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ охватывала точку в положительном направлении раза.

Данная система  устойчива в разомкнутом состоянии.

 

Данный годограф охватывает точку (-1;j0) и делает обороты вокруг нее, что говорит о неустойчивости непрерывной системы после замыкания.