Управление летательным аппаратом

          До этого пункта мы рассматривали объект в «пространстве  состояний» в непрерывной форме, сейчас необходимо перейти к дискретной модели объекта.

Система уравнений  в «пространстве состояний» для  непрерывной модели:  

               x' = Ax + Bu

                y = Cx + Du (3.1)

                x(t₀) = x₀             

Необходимо привести нашу систему к дискретной форме. Поскольку соотношение (3.1) верно для непрерывных систем, то оно выполняется тем более и для дискретных систем, так как в случае последних мы делим интересующий нас промежуток времени на конечное число фиксированных разбиений. И интересуемся, соответственно, поведением системы только в точках этого разбиения.

            

                     (3.4) 
 

На этом этапе  возникает подзадача о соотнесении  коэффициентов систем (3.1) и (3.4)

Оператор дифференцирования  (3.1) заменяется на реккурентность первого уравнения системы (3.4).

Второе уравнение  системы  (3.4) есть не что иное, как выражение для вектора выходных переменных в интересующих нас точках. Поэтому матрицы С и D равны своим дискретным аналогам. Матриц A и B вычисляются таким способом: 

                                
 

 
 

Для выбора частоты  дискретизации(периода Т дискретизации) необходимо представлять себе приблизительный порядок величин временных констант системы в переходном режиме. Пусть T= 1c.

Программа для  расчета матриц дискретной системы: 

A = [-1.01 1 0 0; -27.302 0 1 0; -0.275 0 0 1; -0.068 0 0 0]

B = [ 0; -15; -6; -0.086]

C = [1 0 0 0]

D= [0]

[S,J]=eig(A)

T=1

eAT=S*expm(J*T)*inv(S)

E=eye(4)

Ad=expm(A*T)

Bd=(Ad-E)*inv(A)*B 
 

Итак имеем следующие  значения матриц  системы (3.4): 

A_g = S* =  
 

B_g =(A_g-E)**B =  

C_g =  

D_g =  

Тогда для t-того шага имеем:

 

Для перехода к  жордановой матрице J от дискретной матрицы A, необходимо проделать замену базиса

 

          

Новый базис определяется соотношением: 

Собственные значения дискретной матрицы  соответственно равны:

λ₁  = 0.2841 + 0.5359i

λ₂  = 0.2841 – 0.5359i

λ₃  = 0.9938 + 0.0494i

λ₄  = 0.9938 - 0.0494i 
 
 

На данном шаге цель состоит в вычислении степени  матрицы из жордановой формы. Неособенная  матрица S_g находится при помощи процедуры Matlab. 

S_g =

3.2.1. Переход от модели в пространстве состояний к модели вход-выход дискретной системы

Имеем дискретную модель в пространстве состояний:  

Введем в оператор сдвига вперед:

: , .

Получим: . 

,

Тогда модель вход-выход  будет иметь вид  ,     

где - передаточная функция дискретного объекта в операторной форме.             -резольвента .          

Поиск резольвенты

Используем алгоритм Леверье-Фаддеева для нахождения резольвенты:

           

, - полиномиальная матрица,

- характеристический полином матрицы. 

b₁ = Е₄=                  a₁= - trace (b₁*Ad) = -2.5558 
 

b₂ = b₁*Ad+a₁*E =   

a₂ = - trace(b₂*Ad) = 2.4876 
 

b₃ = b₂*Ad+a₂*E =

a₃=- trace(b₃*Ad)= -1.2938 
 

b₄=b₃*Ad+a₃*E=

a₄ = - trace(b₄*Ad) = 0.3643 
 

Подставим вычисленные коэффициенты в полиномиальную матрицу  (3), получим: 

B(p) = * p³ +  * p^{2 +}

⁺ *p +  

Подставим вычисленные коэффициенты в характеристический полином матрицы А, получим: 

,       
 

Найденные полиномиальные матрицы подставляем в выражение для передаточной матрицы: 

W(p) = C * * B + D = =  
 

W(ξ) =  

Найдена передаточная функция для дискретной системы, выпоним проверку в среде MatLab: 

Transfer function:

-0.652 z^3 + 1.209 z^2 - 0.6422 z + 0.08272

----------------------------------------------

z^4 - 2.556 z^3 + 2.487 z^2 - 1.294 z + 0.3642 

Передаточные функции  совпадают с учётом погрешности вычисления, что говорит о правильности проведённых преобразований. 
 
 

3.3 Реакция линейных непрерывных объектов на ступенчатое воздействие 

          Рассмотрим реакцию  объекта на единичное ступенчатое  воздействие, т.е.:

                          U(t)=1(t) 

                           

 

После того как  мы проанализировали свойства матриц A, J, S и нашли аналитическое решение системы (3.1) построим  графики реакции непрерывной системы на единичное воздействие. Будут построены два графика, один из которых есть аналитическое выражение для выходной функции. Второй график стоится при помощи функции LTI Viewer или Step в среде Matlab и в пакете Control System Toolbox.

Итак, аналитическое  выражения для вектора входного сигнала есть: 

 
 

При учете действия на систему единичного воздействия  при нулевых начальных условиях получим: 

X(t)= S**S^-1*B  
 
 
 
 

X(t)= S**S^-1*B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таким образом, выходная функция : 

y(t)= C*x(t)= C*S**S^-1*B 

Приведем текст  написанной процедуры Matlab для построения графика y(t) по аналитическому решению c ненулевыми начальными условиями:

A = [-1.01 1 0 0; -27.302 0 1 0; -0.275 0 0 1; -0.068 0 0 0]

B = [ 0; -15; -6; -0.086]

C = [1 0 0 0]

D= [0]

syms t;

x0=[1;1;1;1];

[S,J]=eig(A)

y=C*S*expm(J*t)*inv(S)*x0

tt=[0:2:1100];

yy=subs(real(y),'t',tt);

figure;

plot(tt,yy,'k');

grid on;

xlabel('Time(c)');

%проверка

figure;

s1=ss(A,B,C,D);

initial(s1,x0);

В качестве выходного  аргумента мы получаем значения y(t)в моменты времени.

 

Нижний график получен с помощью функции initial среды MatLab и является проверкой верхнего графика, как видно графики совпадают, что говорит о правильности проведённых вычислении. 

 

Графики получены с помощью процедуры step в среде MatLab. 
 

3.4 Реакция линейных дискретных объектов на ступенчатое воздействие

     Рассмотрим реакцию объекта на единичное ступенчатое воздействие  при нулевых начальных    условиях, т.е.: 

Перейдем от непрерывной  модели sys1 системы к дискретной при помощи процедуры с2d среды Matlab. 

Непрерывная модель: 

A = [-1.01 1 0 0; -27.302 0 1 0; -0.275 0 0 1; -0.068 0 0 0]

B = [ 0; -15; -6; -0.086]

C = [1 0 0 0]

D= [0]

s1=ss(A,B,C,D)

[S,J]=eig(A);

%переход  к дискретной модели

sysdiscr =c2d(s1,1)

figure;

step(sysdiscr,s1,20)

figure;

step(sysdiscr,s1,70) 
 
 

a =

           x1      x2      x3      x4

   x1   -1.01       1       0       0

   x2   -27.3       0       1       0

   x3  -0.275       0       0       1

   x4  -0.068       0       0       0

 

 

b =

           u1

   x1       0

   x2     -15

   x3      -6

   x4  -0.086

 

 

c =

       x1  x2  x3  x4

   y1   1   0   0   0

 

 

d =

       u1

   y1   0

 

Continuous-time model.

 

a =

              x1         x2         x3         x4

   x1     0.3366    -0.1034    0.02769    0.03922

   x2      2.813     0.2322   -0.07546     0.0673

   x3    0.02656   -0.01028     0.9881     0.9954

   x4   0.007033  -0.001883  -0.002667     0.9989

 

 

b =

             u1

   x1    -0.652

   x2    0.7233

   x3    -5.837

   x4  -0.03952

 

 

c =

       x1  x2  x3  x4

   y1   1   0   0   0

 

 

d =

       u1

   y1   0

 

Sampling time: 1

Discrete-time model.

Получены следующие  графики:

 

 
 
 
 

График получен  с помощью функции Step в MatLab. 
 

4. Импульсные переходные  функции для непрерывных  и дискретных объектов  и систем. 

4.1 ИПФ для непрерывных  систем.